Hyperbolinen tilavuus

Solmuteoriassa hyperbolisen linkin hyperbolinen tilavuus on yhtä suuri kuin linkin komplementin [en] tilavuus suhteessa sen hyperboliseen metriikkaan. Tilavuus on välttämättä äärellinen reaaliluku. Ei-hyperbolisen solmun hyperbolisen tilavuuden oletetaan usein olevan nolla. Mostow'n jäykkyyslauseen mukaan tilavuus on linkin topologinen invariantti [1] . Linkin invariantina volyymiä tutki ensimmäisenä William Thurston geometrisointihypoteesinsa yhteydessä [2] .

Hyperbolisia solmuja, joilla on sama tilavuus, on vain rajallinen määrä [2] . Hyperbolisella solmumutaatiolla on sama koko [3] , joten on mahdollista keksiä samankokoisia esimerkkejä. Lisäksi on olemassa mielivaltaisen suuria äärellisiä joukkoja eri solmuja, joilla on sama tilavuus [2] . Käytännössä hyperbolinen tilavuus on erittäin tehokas solmujen erottamisessa, jota käytetään laajasti solmujen luetteloinnissa . Jeffrey Weeksin tietokoneohjelma SnapPea [ laskee linkin hyperbolisen tilavuuden [1] .  

Hyperbolinen tilavuus voidaan määrittää mille tahansa hyperboliselle 3-sarjalle . Wicks-jakotukin tilavuus on pienin mahdollinen suljetuista jakoputkistoista (jakoputkessa, toisin kuin linkin komplementissa, ei ole kärkiä) ja sen tilavuus on suunnilleen 0,9427 [4] .

Lista

• Kahdeksan = 2,029883 2 (sekvenssi A091518 OEIS : ssä )
• Solmu kolmessa puolikierroksessa = 2,828 12
• Ahtausyksikkö = 3,163 96
• Solmu 6₂ = 4 400 83
• Endless Knot = 5,137 94
• Percos -pari = 5,638 77
• Solmu 6₃ = 5,693 02

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 Adams, Hildebrand, Weeks, 1991 , s. 1-56.
2. ↑ 1 2 3 Wielenberg, 1981 , s. 505-513.
3. ↑ Ruberman, 1987 , s. 189-215.
4. ↑ Gabai, Meyerhoff, Milley, 2009 , s. 1157-1215.

Kirjallisuus

• David Gabai, Robert Meyerhoff, Peter Milley. Minimitilavuus cusped hyperbolic three-manifolds // Journal of the American Mathematical Society . - 2009. - T. 22 , no. 4 . - doi : 10.1090/S0894-0347-09-00639-0 . - arXiv : 0705.4325 .
• Colin Adams, Martin Hildebrand, Jeffrey Weeks. Solmujen ja linkkien hyperboliset invariantit. - Transactions of the American Mathematical Society , 1991. - Vol. 326 , no. 1 . - doi : 10.2307/2001854 .
• Daniel Ruberman. Mutaatiot ja solmumäärät S 3 :ssa  // Inventiones Mathematicae . - 1987. - T. 90 , no. 1 . - doi : 10.1007/BF01389038 .
• Norbert J. Wielenberg. Riemannin pinnat ja niihin liittyvät aiheet: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1978). - Princeton, NJ, 1981. - V. 97. - (Ann. of Math. Stud.).

Linkit

• Hyperbolinen Volume Knot Atlas