Ympyrä nippu

Ympyräkimppu on nippu , jossa ympyrät ovat kuituja . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {S} ^{1))$

Orientoidut ympyräniput tunnetaan myös pääasiallisina U (1) -nippuina . Fysiikassa ympyräkimput ovat luonnollisia geometrisia asetuksia sähkömagnetismille . Ympyräkimppu on pallonippujen erikoistapaus [ .

3-jakotukina

Pintojen kehäkimppu on tärkeä esimerkki 3-jakotukista . Yleisempi 3-jakoputkien luokka ovat Seifert-niput , joita voidaan pitää eräänlaisina "rappeutuneina" ympyräkimppuina tai kaksiulotteisten orbifoldsien ympyräkimppuna .

Suhde sähködynamiikkaan

Maxwellin yhtälöt vastaavat sähkömagneettista kenttää , jota edustaa 2-muotoinen F , jossa on homologisesti nolla. Erityisesti on aina olemassa kovarianttivektori A , sähkömagneettinen potentiaali , (vastaavasti affiiniyhteys ), niin että $\pi ^{\!*}F$

\pi ^{\!*}F=dA.

Jos jakosarjan M ympyrällä P on annettu nippu ja sen projektio

\pi :P\to M

meillä on homomorfismi

\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )

missä on käänteisarvo . Jokainen homomorfismi vastaa Diracin monopolia . Kokonaiset kohomologiaryhmät vastaavat sähkövarauksen kvantisointia . Aharonov-Bohm-ilmiö voidaan ymmärtää siihen liittyvän viivanipun rajoitteen holonomiana, joka kuvaa elektronin aaltofunktiota. Pohjimmiltaan Aharonov-Bohm-ilmiö ei ole kvanttimekaaninen vaikutus (toisin kuin yleinen käsitys), koska kvantisointia ei ole mukana eikä sitä vaadita nipun rakentamisessa. $\pi ^{\!*}$

Esimerkkejä

Hopf-nippu on esimerkki ei-triviaalista nipusta ympyröillä.
Pinnan pallomainen normaalikimppu on toinen esimerkki ympyrän päällä olevasta nipusta.
Ei-suuntautuvan pinnan pallomainen normaalikimppu on ympyrän päällä oleva nippu, joka ei ole pääkimppu . Vain suuntautuvilla pinnoilla on pääasialliset pallomaiset tangenttikimput. $U(1)$
Toinen tapa muodostaa ympyräkimppu on käyttää monimutkaista viivakimppua ja ottaa siihen liittyvä pallonippu (tässä tapauksessa ympyräkimppu). Koska tällä nipulla on indusoitu suuntaus kohteesta , näemme sen olevan pääkimppu [1] . Lisäksi Chen-Weylin nippujen teorian ominaisluokat ovat yhdenmukaisia ominaisluokkien kanssa . $L\to X$ $L$ $U(1)$ $U(1)$ $L$
Harkitse esimerkiksi kompleksisen tasokäyrän analyysiä $X$

{\text{Proj))\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n))} \oikea)

Koska myös tunnusluokat kartoitetaan ei-triviaalisti, saadaan, että lyhteeseen liittyvällä rivinipulla on Chern-luokka . $H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$ ${\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_ {X}$ $c_{1}=a\in H^{2}(X)$

Luokitus

Moniston M pääkimppujen isomorfismiluokat ovat yksi-yhteen vastaavuuskartoitusten homotopialuokkien ,joita kutsutaan luokitteluavaruudeksi U(1) . Huomaa, ettäse on ääretön -ulotteinen kompleksinen projektioavaruus , ja että se on esimerkki Eilenberg-MacLane-avaruudesta . Tällaiset kimput luokitellaanM :n toisen integraalin kohomologiaryhmän elementtien mukaan , koska $U(1)$ $M\to BU(1)$ $BU(1)$ ${\displaystyle BU(1)=CP^{\infty ))$ $K(\mathbb {Z} ,2)$ $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$

[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)

Tämän isomorfismin toteuttaa Euler-luokka . Vastaavasti se on sileän monimutkaisen viivanipun ensimmäinen Chern-luokka (enimmäkseen siksi, että ympyrä vastaa homotooppia , kompleksista tasoa, jonka origo on poistettu. Ja sitten kompleksinen viivakimppu, josta on poistettu nollaleikkaus, vastaa homotoopiaa nippu piireissä) $\mathbb {C} ^{*}$

Ympyränippu on pääkimppu silloin ja vain, jos siihen liittyvä kartta on homotooppinen nollaan, mikä on totta, jos ja vain jos nippu on kuitusuuntautunut. Yleisemmässä tapauksessa, kun moniston M ympyräkimppua ei voida orientoida, isomorfismiluokat ovat yksi-yhteen vastaavuus homotopian kartoitusluokkien kanssa . Tämä johtuu ryhmien laajentamisesta , jossa . $U(1)$ $M\to B\mathbb {Z} _{2}$ $M\to BO_{2}$ $SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}$ $SO_{2}\equiv U(1)$

Deligne-kompleksit

Yllä oleva luokitus koskee vain ympyräkimppuja yleisesti. Vastaava luokittelu sileille ympyräkimppuille tai vaikkapa ympyräkimppuille, joissa on affiiniyhteys , vaatii kehittyneempää kohemologiateoriaa. Joten sileät ympyräkimput luokitellaan toisen Deligne-kohomologian mukaan, ympyräkimput, joissa on affiininen yhteys, luokitellaan , kun taas luokittelee linjakimput nipuiksi [ . $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$ $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$ $H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$

Katso myös

Spektrisekvenssi

Muistiinpanot

↑ Onko jokainen suuntautuva ympyräpaketti pääasiallinen? . Haettu 14. elokuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 25. elokuuta 2017. (määrätön)

Kirjallisuus

Shiing-shen Chern. Ympyräkimput // Matematiikan luentomuistiinpanot. - Springer Berlin / Heidelberg, 1977. - T. 597/1977. — s. 114–131. - ISBN 978-3-540-08345-0 . .