Zhen luokka

Chern-luokat (tai Chern-luokka ) ovat ominaisluokkia, jotka liittyvät monimutkaisiin -vektorinippuihin .

Zhen-luokat esitteli Shiing-Shen Zhen [1] .

Geometrinen lähestymistapa

Perusidea ja tausta

Zhen - luokat ovat tunnusomaisia luokkia . Ne ovat topologisia invariantteja , jotka liittyvät vektorinippuihin sileissä monisävyissä. Kysymys siitä, ovatko kaksi näennäisesti erilaista vektorinippua sama nippu, voi olla melko vaikea ongelma. Chern-luokat antavat yksinkertaisen testin – jos vektorinippuparin Chern-luokat eivät ole samaa mieltä, vektoriniput ovat erillisiä. Käänteinen ei kuitenkaan pidä paikkaansa.

Topologiassa, differentiaaligeometriassa ja algebrallisessa geometriassa on usein tärkeää laskea, kuinka monta lineaarisesti riippumatonta osaa vektorinipussa on. Chern-luokat antavat tästä tietoa esimerkiksi Riemannin-Rochin lauseen ja Atiyah-Singerin indeksilauseen kautta .

Zhenin tunnit ovat myös käteviä käytännön laskelmiin. Differentiaaligeometriassa (ja joissakin algebrallisen geometrian tyypeissä) Chern-luokat voidaan ilmaista polynomeina kaarevuusmuodon kertoimissa .

Zhen-luokkien rakentaminen

Luokkiin on erilaisia lähestymistapoja, joista jokainen keskittyy Chern-luokkien hieman erilaisiin ominaisuuksiin.

Alkuperäinen lähestymistapa Chern-luokkiin oli lähestymistapa algebrallisen topologian puolelta - Chern-luokat syntyvät homotopian teorian kautta , jonka avulla voidaan rakentaa kartta nippuun V liittyvästä monista luokitteluavaruuteen (ääretön Grassmannian tässä tapauksessa). Jokaiselle vektorikimpulle V monisarjan M yli on olemassa kuvaus f :stä M luokitteluavaruuteen siten, että nippu V on yhtä suuri kuin yleisen nipun käänteiskuva (suhteessa f ) luokitteluavaruuden yli ja Chern. nipun V luokat voidaan siksi määritellä universaalin kimpun Chern-luokkien käänteiskuviksi. Nämä universaalit Chern-luokat puolestaan voidaan kirjoittaa eksplisiittisesti Schubertin syklien avulla .

Voidaan osoittaa, että kahden kuvauksen f ja g M : stä luokitteluavaruuteen, jonka käänteiskuvat ovat sama nippu V , täytyy olla homotooppisia. Siten minkä tahansa universaalin Chern-luokan käänteiskuvien f :n ja g :n suhteen M :n kohemologialuokassa on oltava sama luokka. Tämä osoittaa, että V :n Chern-luokat ovat hyvin määriteltyjä.

Zhengin lähestymistapa perustuu differentiaaliseen geometriaan käyttämällä tässä artikkelissa kuvattua kaarevuutta. Zhen osoitti, että aikaisempi määritelmä oli itse asiassa sama kuin hänen määritelmänsä. Tuloksena oleva teoria tunnetaan Chen-Weilin teoriana .

On myös Alexander Grothendieckin lähestymistapa , joka osoitti, että riittää aksiomaattisesti määritellä vain linjanippujen luokat.

Chernin luokat syntyvät luonnollisesti algebrallisessa geometriassa . Algebrallisen geometrian yleistetyt Chern-luokat voidaan määrittää vektorinipuille (tai tarkemmin paikallisesti vapaille nipuille ) minkä tahansa ei-singulaarisen monisarjan yli. Zhenin algebra-geometriset luokat eivät aseta rajoituksia pääkenttään. Erityisesti vektorinippujen ei tarvitse olla monimutkaisia.

Alkuperäisestä paradigmasta huolimatta Chern-luokan intuitiivinen merkitys koskee vektorinipun osien "nollia". Esimerkiksi lause, jonka mukaan palloa on mahdoton kammata hiuksilla ( siilin kampauslause ). Vaikka tiukasti ottaen kysymys viittaa todelliseen vektorinippuun (pallon "hiukset" ovat kopio oikeasta viivasta), on yleistyksiä, joissa "hiukset" ovat monimutkaisia (katso esimerkki monimutkaisesta siilin kampauksesta lause alla) tai yksiulotteisille projektioavaruuksille monien muiden kenttien yli.

Chernin linjanippujen luokka

(Olkoon X CW-kompleksin homotoopiatyyppinen topologinen avaruus .)

Tärkeä erikoistapaus tapahtuu, kun V on linjanippu . Sitten ainoa ei-triviaali Chern-luokka on ensimmäinen Chern-luokka, joka on elementti avaruuden X toisesta kohemologiaryhmästä. Koska se on Zhenin korkein luokka, se on yhtä suuri kuin nipun Euler-luokka .

Ensimmäinen Chern-luokka osoittautuu täydelliseksi invariantiksi , jonka mukaan topologiseen kategoriaan kuuluvat kompleksiset viivaniput luokitellaan. Toisin sanoen X :n yli olevien isomorfisten linjanipujen luokkien ja H 2 :n ( X ; Z ) elementtien välillä on bijektio , joka liittyy linjanipun ensimmäiseen Chern-luokkaan. Lisäksi tämä bijektio on ryhmähomomorfismi (eli isomorfismi):

c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')

;

kompleksisten viivakimppujen tensoritulo vastaa additiota toisessa kohomologiaryhmässä [2] [3] .

Algebrallisessa geometriassa tämä (isomorfisten) kompleksisten viivakimppujen luokittelu ensimmäisen Chern-luokan mukaan on karkea likiarvo (isomorfisten) holomorfisten viivakimppujen luokittelusta lineaarisesti ekvivalenttien jakajien luokkien mukaan .

Kompleksisille vektorinipuille, joiden ulottuvuus on suurempi kuin yksi, Chern-luokat eivät ole täydellisiä invariantteja.

Rakennukset

Chen-Weyl-teorian avulla

Kun on annettu kompleksinen hermiittinen vektorikimppu V, jonka kompleksiluokka on n differentioituvan moniston M yli, kunkin nipun V Chern - luokan ( kutsutaan Chern - muodoksi ) c k ( V ) edustaja saadaan ominaispolynomin kertoimilla . nipun V kaarevuusmuodosta . $\Omega$

\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+E\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}

Determinantti otetaan yli n × n -matriisin renkaasta, jonka alkiot ovat polynomeja t :ssä kertoimilla jopa monimutkaisten differentiaalimuotojen kommutatiivisesta algebrasta M :llä . Kimpun V kaarevuusmuoto on annettu kaavalla $\Omega$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]

missä on kytkentämuoto ja d on ulompi differentiaali tai sama lauseke, jossa on nipun V mittariryhmän mittarimuoto . Skalaaria t käytetään vain tuntemattomana -muuttujana generoimaan summa determinantista, ja E tarkoittaa n × n -identiteettimatriisia . $\omega$ $\omega$

Sanat, jotka tämä lauseke antaa Zhen-luokan edustajalle , tarkoittavat, että 'luokka' tässä määritellään täsmälliseen differentiaalimuotoon . Toisin sanoen Chern- luokat ovat kohomologian luokkia de Rham -kohomologian merkityksessä . Voidaan osoittaa, että Chern-muotojen kohemologialuokka ei riipu liitoksen valinnasta V :ssä .

Käyttämällä matriisin identiteettiä tr(ln( X ))=ln(det( X )) ja Maclaurin-sarjaa ln( X + I ), tämä Chern-muodon lauseke laajenee muotoon

\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{ \frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\ frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].

Euler-luokan avulla

Chern-luokka voidaan määritellä Euler-luokan avulla. Tätä lähestymistapaa käytetään Milnorin ja Stashefin kirjassa [4] , ja se korostaa vektorinipun orientaation roolia .

Päähavainto on, että kompleksivektorinipulla on kanoninen suuntaus johtuen kytkeytymisestä. Siksi voidaan määritellä nipun korkein Chern-luokka sen Euler-luokaksi ja työskennellä muiden Chern-luokkien kanssa induktiolla. $GL_{n}(\mathbb {C} )$

Tarkka rakenne on seuraava. Ajatuksena on muuttaa perustetta, jotta saadaan yksi pienempi arvo. Olkoon kompleksivektorinippu parakompaktin avaruuden B yli . Koska B on nollaosuus , joka on upotettu E :hen, asetamme ja määritämme uuden vektorinipun: $\pi :E\rightarrow B$ $B'=EB$

E'\to B',

jonka kuitu on kerroin nipun E kuidusta F pitkin linjaa, joka ulottuu vektorin v F :ssä (pisteen B' määrittää nipun E kuitu F ja nollasta poikkeava vektori F .) [5] . Silloin E': llä on yksi vähemmän kuin E :llä . Paketin Gisin -sekvenssistä : $\pi |_{B'}:B'\to B$

\cdots \to \operaattorin nimi {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operaattorinimi { H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,

näemme, mikä on isomorfismi arvolle k < 2 n − 1. Olkoon $\pi |_{B'}^{*}$

c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\ e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}

Jonkin verran työtä tarvitaan vielä sen varmistamiseksi, että Zhen-luokan aksioomit pätevät tällaiselle määritelmälle.

Esimerkkejä

Riemannin pallon monimutkainen tangenttikimppu

Olkoon CP 1 Riemannin pallo , 1-ulotteinen kompleksinen projektioavaruus [ . Oletetaan, että z on holomorfinen paikallinen koordinaatti Riemannin pallolla. Olkoon V = T CP 1 jokaisessa pisteessä a ∂/∂ z muotoisten kompleksisten tangenttivektorien kynä , jossa a on kompleksiluku. Todistamme monimutkaisen version siilikampauslauseesta : V :ssä ei ole katoamattomia osia.

Tätä varten tarvitsemme seuraavan tosiasian: triviaalinipun ensimmäinen Chern-luokka on yhtä suuri kuin nolla, eli

c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.

Tämä johtuu siitä, että triviaalinipussa on aina tasainen liitos.

Näytämme se

c_{1}(V)\not =0.

Harkitse Kähler-mittaria

h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Voidaan osoittaa, että 2-kaarevuusmuoto on annettu kaavalla

\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Lisäksi Zhenin ensimmäisen luokan määritelmän mukaan

c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right].

Meidän on osoitettava, että tämä kohomologialuokka on nollasta poikkeava. Tätä varten riittää, että lasketaan integraali Riemannin pallon yli:

\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2} )^{2}}}=2

napakoordinaatistoon siirtymisen jälkeen . Stokesin lauseen mukaan tarkan muodon integraalin on oltava 0, joten kohemologialuokka on nollasta poikkeava.

Tämä osoittaa, että TCP1 ei ole triviaali vektorinippu .

Monimutkainen projektiotila

On olemassa tarkka nippujen järjestys [6] :

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P } ^{n))(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0,

missä on rakenteellinen nippu (eli triviaali viivanippu), on kiertyvä Serren nippu (eli hyperplanes ) ja viimeinen nollasta poikkeava termi on tangenttinippu /nippu. ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$

On kaksi tapaa saada yllä oleva sarja:

[7] Olkoon z 0 , … z n koordinaatteja,ja. Sitten meillä on: $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n+1}-0\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ ${\displaystyle U=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}-\{z_{0}=0\))$ $\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2} },\,i\geq 1.$
Toisin sanoen kotangentti nippu , joka on vapaa moduuli, jossa on kanta , sisältyy tarkkaan järjestykseen $\Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $d(z_{i}/z_{0})$
$\textstyle \quad 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{ \to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,$ missä on keskiajan perusta. Sama sekvenssi on silloin tarkka koko projektiiviselle avaruudelle, ja yllä oleva sekvenssi on kaksoisjakso sen kanssa. $e_{i}$
Olkoon L origon kautta kulkeva suora. On helppo nähdä, että pisteen L kompleksinen tangenttiavaruus on luonnollisesti isomorfinen L :stä komplementtiansa olevien lineaaristen kuvausten joukolle. [8] Siten tangenttikimppu voidaan tunnistaa homomorfismien kimppuun $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ $\operaattorinimi {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$ missä on vektorinippu sellainen, että . Tämä tarkoittaa: $\eta$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)))$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operaattorinimi {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\ oplus \operaattorinimi {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1 )}$ .

Ottaen huomioon täyden Chern-luokan c = 1 + c 1 + c 2 + … (eli Whitneyn summakaavat) additiivisuuden,

c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n })=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1 }

jossa a on kohomologiaryhmän kanoninen generaattori . Eli miinusmerkillä otettuna tautologisen rivinipun ensimmäisen Chern-luokan arvo (Huom: kun E * on E:n duaali . ) Erityisesti mille tahansa , $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ $k\geqslant 0$

c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.

Zhenin polynomi

Chern-polynomi on kätevä tapa työskennellä Chern-luokkien ja niihin liittyvien käsitteiden kanssa. Määritelmän mukaan kompleksiselle vektorikimpulle E nipun E Chernin polynomi c t saadaan seuraavasti :

c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.

Tämä ei ole uusi invariantti - formaalinen tuntematon t yksinkertaisesti heijastaa potenssia c k ( E ) [9] . Erityisesti sen määrittelee täysin nipun E - koko Chern-luokka . $c_{t}(E)$ $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$

Whitneyn summakaava, yksi Chern-luokkien aksioomeista (katso alla), sanoo, että c t on additiivinen siinä mielessä:

c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Jos nyt on (monimutkaisten) linjanippujen suora summa, Whitneyn summakaava tarkoittaa: ${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$

c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)

missä ovat ensimmäiset Chern-luokat. Juuria kutsutaan nipun E Chern -juuriksi ja ne määrittävät polynomin kertoimet. Tuo on, $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ $a_{i}(E)$

c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))

missä ovat alkeissymmetriset polynomit . Toisin sanoen, jos katsomme a i :n muodollisiksi muuttujiksi, c k ovat "saa" . Perusfakta symmetrisistä polynomeista on, että mikä tahansa symmetrinen polynomi esimerkiksi t i :ssä on polynomi alkeissymmetrisissä polynomeissa t i :ssä . Jakoperiaatteen tai rengasteorian mukaan mikä tahansa Chernin polynomi hajoaa lineaarisiksi tekijöiksi kohemologiarenkaan kasvun jälkeen. Siksi E : n ei tarvitse olla rivinippujen suora summa. Johtopäätös ${\displaystyle \sigma _{k))$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $c_{t}(E)$

"Voidaan laskea mikä tahansa symmetrinen polynomi f monimutkaisessa vektorinipussa E kirjoittamalla f polynomiksi ja korvaamalla sen sitten :lla ."

{\displaystyle \sigma _{k))

{\displaystyle \sigma _{k))

c_{k}(E)

Esimerkki : Meillä on polynomit s k

t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}), \ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))

kanssa ja niin edelleen (katso Newtonin identiteetit ). Summa ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2))$

\operaattorin nimi {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1} (E),\ldots ,c_{n}(E))/k!

kutsutaan nipun E Chern-merkiksi, jonka muutama ensimmäinen termi ovat: (jätämme E :n pois merkinnöstä )

\operaattorinnimi {ch} (E)=\operaattorin nimi {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{ \frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .

Esimerkki : E -nipun Todd-luokka saadaan seuraavasti:

{\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i))}=1 +{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}

Huomautus : Havaintoja, että Chern-luokka on pohjimmiltaan alkeissymmetrinen polynomi, voidaan käyttää Chern-luokkien "määrittämiseen". Olkoon G n n - ulotteisten kompleksisten vektoriavaruuksien ääretön Grassmannin Se on luokitteluavaruus siinä mielessä, että jos kompleksinen vektorinippu E , jonka arvo on n yli X , on jatkuva kartoitus.

f_{E}:X\to G_{n},

ainutlaatuinen homotopiaan asti. Borel-lause väittää, että Grassmannin G n :n kohomologiarengas on täsmälleen symmetristen polynomien rengas, jotka ovat polynomeja alkeissymmetrisissä polynomeissa . Näin ollen esikuvalle f E ${\displaystyle \sigma _{k))$

f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Missä

c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).

Huomautus : Mikä tahansa ominaisluokka on polynomi Chern-luokissa seuraavista syistä. Olkoon kontravarianttifunktionaali , joka yhdistää CW-kompleksiin X isomorfisten kompleksisten vektorinippujen luokkien joukon, joiden arvo on n yli X . Määritelmän mukaan karakteristinen luokka on luonnollinen muunnos kohomologiafunktioksi . Tunnusluokat muodostavat renkaan johtuen kohomologiarenkaan rengasrakenteesta. Yonedan lemmassa todetaan, että tunnusluokkien rengas on täsmälleen Grassmannin Gn : n kohomologiarengas : $\operaattorin nimi {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ $\operaattorin nimi {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$

\operaattorinimi {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].

Zhenin luokkien ominaisuudet

Kun on annettu kompleksinen vektorikimppu E topologisen avaruuden X yli , nipun E Chern-luokat ovat sekvenssi avaruuden X kohemologiaelementtejä . nipun E k :s Chern-luokka , jota yleensä merkitään c k ( V ), on elementti

H2k ( X ; Z ) , _

avaruuden X kohomologia kokonaislukukertoimien kanssa . Voidaan myös määritellä täydellinen Zhen-luokka

c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .

Koska arvot ovat kokonaislukukohomologiaryhmissä eikä todellisten kertoimien kohemologiassa, nämä Chern-luokat ovat hieman selkeämpiä kuin Riemannin esimerkissä.

Klassinen aksiomaattinen määritelmä

Zhen-luokat täyttävät seuraavat neljä aksioomaa:

Aksiooma 1. kaikille nipuille E . $c_{0}(E)=1$

Aksiooma 2. Luonnollisuus: Jos on jatkuva ja f*E on nipun E indusoitu vektorinippu , niin . $f:Y\to X$ $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$

Aksiooma 3. Whitneyn summakaava : Jos on toinen monimutkainen vektorinippu, niin suoran summan Chern-luokat saadaan kaavalla $F\to X$ $E\oplus F$

c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);

tuo on,

c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{ki}(F).

Aksiooma 4. Normalisointi: Tautologisen viivanipun täydellinen Chern-luokka CP k :n yli on yhtä suuri kuin 1 − H , missä H on hypertason Poincarén duaali . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k))$

Alexander Grothendieckin aksiomaattinen lähestymistapa

Vaihtoehtoisesti Grothendieck [10] korvasi nämä aksioomit hieman harvemmilla aksioomeilla:

Luonnollisuus: (sama kuin yllä)
Additiivisuus: Jos on tarkka sekvenssi vektori nippuja, sitten . $\ 0\to E'\to E\to E''\to 0$ $c(E)=c(E')\smile c(E'')$
Normalisointi: Jos E on viivanippu , niin , missä on taustalla olevan reaalivektorinipun Euler-luokka . $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })$ $e(E_{\mathbf {R} })$

Hän osoitti Leray-Hirschin teoreemaa käyttäen , että äärellisen luokan kompleksisen vektorinipun täydellinen Chern-luokka voidaan määritellä tautologisesti määritellyn viivakimpun ensimmäisen Chern-luokan avulla.

Nimittäin ottamalla käyttöön kompleksisen vektorinipun, jonka arvo on n , projektivisaatio P ( E ) nippuna B :llä, jonka kuitu mielivaltaisessa pisteessä on kuidun Eb projektioavaruus . Tämän nipun P ( E ) kokonaistila on varustettu sen tautologisella monimutkaisella viivakimpulla, jota merkitsemme , ja ensimmäisellä Chern-luokalla $E\rightarrow B$ $b\in B$ $\tau$

c_{1}(\tau )=:-a

on rajoitettu jokaisessa P ( E b ) -kerroksessa hypertason miinusmerkkiseen luokkaan (Poincaré dual), joka luo kerroksen kohemologian.

Luokat

1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))

muodostavat siten kerroksen kohemologiaperustalle rajoittuvan kohomologialuokan perheen. Leray-Hirschin lause väittää, että mikä tahansa luokka H* :ssa ( P ( E )) voidaan kirjoittaa yksiselitteisesti lineaarisena yhdistelmänä 1, a , a 2 , …, a n −1 luokkien perusteella kertoimina. .

Erityisesti voidaan määritellä nipun E Chern-luokat Grothendieckin merkityksessä, joita merkitään hajottamalla luokka seuraavasti: $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ ${\displaystyle -a^{n))$

-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E) .

Voit tarkistaa, että tämä vaihtoehtoinen määritelmä on sama kuin mikä tahansa muu määritelmä.

Zhengin vanhempi luokka

Itse asiassa nämä ominaisuudet määrittelevät yksilöllisesti Chern-luokat. Ne johtavat muun muassa:

Jos n on V :n kompleksiluokka , niin kaikille k > n . Siten koko Zhen-luokka taukoja. $c_{k}(V)=0$
Kimpun V korkein Chern-luokka ( , missä n on V :n arvo ) on aina yhtä suuri kuin taustalla olevan reaalivektorinipun Euler-luokka . $c_{n}(V)$

Chernin luokat algebrallisessa geometriassa

Aksiomaattinen kuvaus

On olemassa toinen Chern-luokkien rakenne, joka ottaa arvot kohomologiarenkaan algebrogeometrisesta analogista , Zhou-renkaasta . Voidaan osoittaa, että on olemassa ainutlaatuinen Chern-luokkien teoria siten, että annetulle algebralliselle vektorinipulle kvasiprojektitiivisen moniston yli on olemassa sellainen luokkien sarja , $E\to X$ $c_{i}(E)\in A^{i}(X)$

$c_{0}(E)=1$
Käännettävää sädettä varten ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
Whitneyn summakaava pätee tarkasti vektorinippujen järjestyksessä : $0\to E'\to E\to E''\to 0,$ $c(E)=c(E')c(E'')$
$c_{i}(E)=0$ varten $i>{\text{rank}}(E)$
Kartoitus laajennetaan rengasmorfismiin $E\mapsto c(E)$ $c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)$

Abstrakteja laskelmia käyttäen muodollisia ominaisuuksia

Linjanippujen suorat summat

Näitä suhteita käyttämällä voimme suorittaa lukuisia laskelmia vektorinipuille. Ensinnäkin huomaa, että jos meillä on viivanippuja , voimme muodostaa lyhyen tarkan vektorinippujen sekvenssin ${\mathcal {L}},{\mathcal {L}}'$

0\to {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\to {\mathcal {L}}'\to 0

Käyttämällä ominaisuuksia ja saamme $yksi$ $2$

{\begin{aligned}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}} ')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L))))(1+c_{1}({\mathcal {L))'))\\&=1+c_{1 }({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L} }')\end{aligned}}

Induktiolla saamme

c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\ matematiikka {L}}_{n})

Kimput kaksoislinjaiset niput

Koska tasaisen projektiivisen muunnelman viivaniput määritellään jakajaluokan ja kaksoisviivanipun negatiivinen jakajaluokka , saamme $X$ ${\näyttötyyli [D]}$ ${\näyttötyyli -[D]}$

c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})

Projektiivisen avaruuden tangenttinippu

Yllä olevaa voidaan soveltaa projektiivisen avaruuden Euler-sekvenssiin

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^ {\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

laskea

{\begin{aligned}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n }})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T} }_{\mathbb {P} ^{n)))&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \choose 0}1+{n+1 \choose 1}H+ \cdots +{n+1 \choose n}H^{n}\end{aligned}}

missä on 1. asteen hypertasojen luokka. Huomaa myös, että Zhou-renkaassa . $H$ $H^{n+1}=0$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Normaali järjestys

Projektiivisen avaruuden ominaisluokkien laskenta on perusta monien muiden avaruuksien ominaisluokkien laskemiselle, koska mille tahansa sileälle projektiiviselle alilajitelmalle on lyhyt tarkka sarja $X\subset \mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N } }}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0

Kolmiulotteinen kvintiikka

Harkitse esimerkiksi kolmiulotteista kvinttiä . Sitten annetaan normaali nippu ja meillä on lyhyt tarkka sekvenssi $\mathbb {P} ^{4}$ ${\mathcal {O}}_{X}(5)$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O }}_{X}(5)\to 0

Antaa tarkoittaa luokkaa hyperplanes in . Sitten Whitneyn summakaava antaa meille $h$ $A^{\bullet }(X)$

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5 }\\&=1+5t+10h^{2}+10t^{3}\end{tasattu}}

Koska hyperpinnan Zhou-rengasta on vaikea laskea , pidämme tätä sekvenssiä koherenttien pyöreiden sarjana . Tämä antaa meille $\mathbb {P} ^{4}$

c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5t+10t^{2}+10t^{3}}{1+5t}}

Huomaa, että on olemassa muodollinen potenssisarja

{\begin{aligned}{\frac {1}{1+5t}}&=1-5t+25h^{2}-125t^{3}+\cdots \\&=1-5t+25h ^{2}-125h^{3}\end{aligned}}

Tätä käyttämällä voimme saada

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5t+10t^{2}+10t^{3})(1-5t+25t^{ 2}-125h^{3})\\&=1+10t^{2}-40t^{3}\end{tasattu}}

Käyttämällä Gauss-Bonnet-lausetta voimme integroida luokan laskeaksemme Eulerin ominaiskäyrän. Tätä kutsutaan perinteisesti Euler-luokaksi . Meillä on $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$

\int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200

koska luokka voidaan esittää viidellä pisteellä ( Bézoutin lauseella . Eulerin ominaiskäyrää voidaan sitten käyttää Betti-lukujen laskemiseen käyttämällä Eulerin ominaiskäyrän määritelmää ja Lefschetzin hypertason leikkauslausetta . $h^3$ $X$

Kotangenttisekvenssi

Toinen hyödyllinen laskelma on projektiivisen avaruuden kotangenttinippu. Voimme dualisoida Euler-sekvenssin ja saada

0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n +1}\numerolle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\numerolle 0

Whitneyn summakaavaa käyttämällä saamme

{\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{n)))&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^ {\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))\\&=(1-H)^{n+1}\\& =1-{n+1 \valitse 1}H+{n+1 \valitse 2}H^{2}+\cdots +{n+1 \valitse n}(-1)^{n}H^{n} \end{aligned}}

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Zhenin hahmo

Chern-luokkien avulla voidaan rakentaa rengashomomorfismi avaruuden topologisesta K-teoriasta sen rationaalisen kohemologian täydentämiseksi. Rivinipulle L Chern-merkki saadaan kaavalla

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Yleisemmin ottaen, jos on rivinippujen suora summa ensimmäisten Chern-luokkien kanssa, Chern- merkki määritellään additiivisesti ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operaattorinimi {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).

Tämä voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti [11] :

\operaattorinnimi {ch} (V)=\operaattorin nimi {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2 }-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_ {3}(V))+\cdots .

Tätä viimeistä lauseketta, jota tukee jakoperiaate , käytetään ch(V) : n määritelmänä mielivaltaisille vektorinipuille V.

Jos yhteyttä käytetään Chern-luokkien määrittämiseen, kun kanta on moniosa (eli Chern-Weilin teoria ), Chern-merkin eksplisiittinen lauseke on

{\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\ oikea)\oikea]

missä on liitoksen kaarevuus . $\Omega$

Chern-merkki on hyödyllinen muun muassa siksi, että sen avulla voidaan laskea tensoritulon Chern-luokka. Tarkemmin sanottuna se täyttää seuraavat yhtäläisyydet:

{\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)

{\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(L).

Kuten edellä todettiin, Grothendieckin Chern-luokkien additiivisuusaksiooman avulla ensimmäinen näistä identiteeteistä voidaan yleistää väittämään, että ch on Abelin ryhmien homomorfismi K - teoriasta K ( X ) rationaaliseen kohomologia - avaruuteen X. Toinen identiteetti vahvistaa sen tosiasian, että tämä homomorfismi säilyttää tuotteen K ( X ), ja siksi ch on rengashomomorfismi.

Chern-merkkiä käytetään Hirzebruch-Riemann-Roch-lauseessa .

Zhen numerot

Jos työskentelemme orientoidun monistimen kanssa, jonka ulottuvuus on 2n , niin mikä tahansa täyden asteen 2n Chern-luokkien tulo voidaan yhdistää perusluokan (tai "integroidun monisarjan") kanssa, jolloin saadaan kokonaisluku, vektorinipun Chern-luku . Esimerkiksi, jos jakotukin mitta on 6, on olemassa kolme lineaarisesti riippumatonta Chern-lukua, jotka annetaan c 1 3 , c 1 c 2 ja c 3 . Yleisesti ottaen, jos jakosarjan mitta on 2n , riippumattomien Chern-lukujen määrä on yhtä suuri kuin n: n osioiden lukumäärä .

Kompleksisen (tai lähes monimutkaisen) monimutkaisen tangenttikipun Chern-lukuja kutsutaan jakosarjan Chern-luvuiksi ja ne ovat tärkeitä invariantteja.

Chern-luokka yleistetyissä kohomologiateorioissa

Chernin luokkien teoriassa on yleistys, jossa tavalliset kohemologiat korvataan yleistetyillä . Teorioita, joille tällainen yleistys on mahdollista, kutsutaan kompleksiksi orientoitaviksi . Chern-luokkien muodolliset ominaisuudet pysyvät samoina, yhdellä kriittisellä erolla - sääntö viivanipujen tensoritulon ensimmäisen Chern-luokan laskemiseksi hajotuksen ensimmäisten Chern-luokkien kannalta ei ole (tavallinen) lisäys, vaan on annettu virallisessa ryhmälakissa .

Chern-luokka algebrallisessa geometriassa

Algebrallisessa geometriassa on samanlainen teoria vektorinippujen Chernin luokista. On olemassa useita muunnelmia riippuen siitä, mihin ryhmiin Chern-luokat kuuluvat:

Monimutkaisille jakoputkille Chern-luokat voivat ottaa arvot tavallisessa kohemologiassa (kuten edellä).
Lajikkeiden osalta yleismuotoisten kenttien yläpuolella Chern-luokat voivat saada arvoja kohomologiateorioissa, kuten étale cohomology tai l-adic cohomology .
Lajikkeiden V osalta yleismuotoisten kenttien yläpuolella Chern-luokat voivat saada arvoja myös Chow-ryhmien CH(V) homomorfismissa. Esimerkiksi linjanipun ensimmäinen Chern-luokka monisarjan V yli on homomorfismi välillä CH( V ) arvoon CH( V ), mikä pienentää astetta yhdellä. Tämä vastaa sitä tosiasiaa, että Chow-ryhmät ovat analogisia homologiaryhmien ja -elementtien kanssa. Kohomologiaryhmien homomorfismeja voidaan pitää homologiaryhmien homomorfisteina tuotteen Whitney perusteella .

Chern-luokat rakenteellisia jakotukia

Chernin luokkateoria on kobordismin invarianttien lähde lähes monimutkaisille rakenteille .

Jos M on lähes monimutkainen monisto, niin sen tangenttikimppu on kompleksivektorinippu. M :n Chern- luokat määritellään sitten sen tangenttikipun Chern-luokiksi . Jos M on myös kompakti ja sen mitta on 2 d , niin jokainen Chern-luokkien täyden asteen monomi 2 d voidaan yhdistää moniston M perusluokan kanssa , jolloin saadaan kokonaisluku, jakosarjan M Chern-luku . Jos M ′ on toinen samanmittainen lähes monimutkainen monisto, niin se on rajallinen M:n kanssa silloin ja vain, jos jakosarjan M ′ Chern-luku on sama kuin jakosarjan M Chern-luku .

Teoria on myös yleistetty todellisiin symplektisiin vektorinippuihin käyttämällä yhteensopivia lähes monimutkaisia rakenteita. Erityisesti symplektisilla jakoputkilla on yksilöllisesti määritelty Chern-luokka.

Chernin luokat aritmeettisista piireistä ja diofantiiniyhtälöistä

(Katso Arakelovin geometriat )

Katso myös

Pontryagin-luokka
Stiefel-Whitney luokka
Zhen-Simonsin teoria
Euler-luokka
Segre luokka
Tomin isomorfismi

Muistiinpanot

↑ Chern, 1946 .
↑ Tu, Loring, 1995 , s. 267ff.
↑ Hatcher, 2003 .
↑ Milnor, Stasheff, 1974 .
↑ Huomautus: Tässä merkintätapa on erilainen kuin Milnor − Staszef-merkintä, mutta luonnollisempi.
↑ Tätä sekvenssiä kutsutaan joskus tarkaksi Euler-sekvenssiksi .
↑ Harshorne, 1977 , s. 176, Ch. II. Lause 8.13..
↑ Olkoon kompleksilukujen ryhmä, joka toimii kertomalla n - ulotteisessa avaruudessa ilman alkuperää . Sitten on pääkimppu rakenneryhmän kanssa , jonka kanta on kompleksinen projektioavaruus . Suora L at (joka kulkee origon kautta) on piste avaruudessa . Katanaev, 2016 , 472 ${\displaystyle \mathbb {C} _{0}=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\smallsetminus \{0\))$ $\mathbb {C} ^{n+1}{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}\mathbb {CP} ^{n}$ $\mathbb {C} _{0}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\smallsetminus \{0\})/\mathbb {C} _{0))$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
↑ Renkaiden teoreettisessa mielessä on olemassa lajiteltujen renkaiden isomorfismi : $H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} )) [t],x\mapsto xt^{|x|/2}$ missä vasemmalla on parillisten termien kohomologinen rengas, on niiden homomorfismien rengas, jotka eivät ota huomioon luokittelua, ja x on homogeeninen ja sillä on aste | x |. $\eta$
↑ Grothendieck, 1958 .
↑ (Katso myös #Cheng-polynomi .) Huomaa, että jos V on viivanippujen summa, V:n Chern-luokat voidaan ilmaista alkeissymmetrisinä polynomeina ] . $x_{i}$ $c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ $c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),$ ja toisaalta, $c(V)=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod _{ i=1}^{n}(1+x_{i})=\summa _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ Siksi Newtonin identiteettejä voidaan käyttää ilmaisemaan ch(V) :n tehosumma toisella tavalla vain V :n Chern-luokkien avulla , mikä antaa vaaditun kaavan.

Kirjallisuus

Chern SS Hermitian Manifolds -luokat // Annals of Mathematics . - The Annals of Mathematics, 1946. - V. 47 , no. 1 . — S. 85–121 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969037 . — .
Alexander Grothendieck . La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1958. - T. 86 . — S. 137–154 . — ISSN 0037-9484 .
Jürgen Jost. Riemannin geometria ja geometrinen analyysi. – 4. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-25907-7 . (Annetaan hyvin lyhyt johdantokatsaus Zhenin luokista.)
Toukokuu JP Algebrallisen topologian tiivis kurssi. - University of Chicago Press, 1999. - ISBN 978-0226511832 .
John Willard Milnor, James D. Stasheff. tunnusomaiset luokat. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. - V. 76. - (Annals of Mathematics Studies). - ISBN 978-0-691-08122-9 .
Elena Rubei. Algebrallinen geometria, ytimekäs sanakirja. - Berliini/Boston: Walter De Gruyter, 2014. - ISBN 978-3-11-031622-3 .
Raoul Bott Tu, Loring W. Differentiaalimuodot algebrallisessa topologiassa. — Korr. 3. print.. - New York [ua]: Springer, 1995. - S. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4 .
Harshorne R. Algebrallinen geometria. - Springer-Verlag, 1977. - V. 52. - (Math. Graduate Texts). — ISBN 0-387-90244-9 . — ISBN 3-540-90244-9 .
Katanaev Mihail Orionovich Geometriset menetelmät matemaattisessa fysiikassa. - Kolmas, täydennetty versio luentokurssin laajennetusta versiosta. - 2016. - (Luentokurssi 2008-2016 V.A. Steklovin nimessä Moskovan tiedeakatemian instituutin tiede- ja koulutuskeskuksessa).

Allen Hatcher. Lause 3.10 // Vektoripaketit ja K-teoria . – 2003.

Linkit

Dieter Kotschick , Chern numerot algebralliset lajikkeet Arkistoitu 6. kesäkuuta 2011 at the Wayback Machine