Topologinen K-teoria

Matematiikassa topologinen K-teoria on algebrallisen topologian osajoukko . Sen olemassaolon alussa sitä sovellettiin vektorinippujen tutkimukseen topologisissa avaruudessa ideoiden kanssa, jotka nyt tunnustettiin osaksi Alexander Grothendieckin esittämää (yleistä) K-teoriaa . Topologisen K-teorian varhaiset työt ovat Michael Atiyahin ja Friedrich Hirzebruchin kirjoittamia .

Määritelmät

Olkoon X kompakti Hausdorff - avaruus ja tai . Sitten määritellään X : n ylittävien äärellisulotteisten vektorinipujen kommutatiivisen monoidin Grothendieck-ryhmäksi Whitneyn summalla . Kimppujen tensoritulo määrittelee K-teorian kommutatiivisen renkaan rakenteen . Ilman indeksiä tarkoittaa yleensä monimutkaista K - teoriaa, kun taas todellista K - teoriaa kutsutaan joskus nimellä . Seuraavaksi tarkastellaan monimutkaista K -teoriaa. $k=\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $K_{k}(X)$ $k$ $K(X)$ $KO(X)$

Ensimmäisenä esimerkkinä huomaa, että pisteen K -teoria on kokonaislukuja. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että kaikki pisteen yläpuolella olevat vektoriniput ovat triviaaleja ja siksi luokitellaan arvonsa mukaan, kun taas Grothendieckin luonnollisten lukujen ryhmä on kokonaisluku.

K - teoriasta on pelkistetty versio , joka on määritelty X :lle , kompakteille avaruuksille, joilla on erottuva piste (vrt . pelkistetty homologia ). Annettu teoria voidaan intuitiivisesti katsoa K ( X ) modulo triviaalinippuina . Se määritellään nippujen stabiilien ekvivalenssiluokkien ryhmäksi. Kahden nipun E ja F sanotaan olevan stabiilisti isomorfisia , jos on olemassa triviaaleja nippuja ja siten, että . Tämä ekvivalenssirelaatio määrittää ryhmärakenteen vektorinippujen joukolle, koska kukin vektorinippu voidaan täydentää triviaalinipuksi summaamalla sen kanssa. ortogonaalinen komplementti. Toisaalta voidaan määritellä sen kartoituksen ytimeksi , joka saadaan upottamalla peruspiste x 0 X :ään . ${\widetilde {K}}(X)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2))$ ${\widetilde {K}}(X)$ $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$

K -teoria on multiplikatiivinen (yleistetty) kohomologinen teoria. Lyhyt tarkka välilyöntien sarja erottuvilla pisteillä ( X , A )

{\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)

Jatkuu pitkään tarkkaan sarjaan

\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K }} }}(X)\to {\widetilde {K}}(A).

Olkoon S n avaruuden n : s pelkistetty suspensio . Sitten määrittelemme:

{\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.

Negatiiviset indeksit valitaan siten, että rinnakkaisrajakartoitus lisää ulottuvuutta.

Usein on järkevää harkita näiden ryhmien ei-pienennettyä versiota, joka määritellään seuraavasti:

K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).

Missä se on erillisellä korostetulla pisteellä, joka on merkitty "+"-merkillä. [yksi] ${\näyttötyyli X_{+))$ $X$

Lopuksi Bottin jaksollisuuslause, joka on muotoiltu alla, antaa meille teorioita positiivisilla indekseillä.

Ominaisuudet

K n ja vastaavastiovat kontravariantteja funktionaalisia avaruusluokista ( jossa on erottuva piste) kommutatiivisten renkaiden kategoriaan. Siksi esimerkiksi K - teoria supistuvien tilojen yli on ${\widetilde {K}}^{n}$ $\mathbb {Z} .$

K -teorian spektri on (diskreetin topologian ollessa päällä ), ts. missä [, ] merkitsee merkittyjen avaruuksien kartoitusluokkia homotopiaan asti ja BU on yhtenäisten ryhmien luokitteluavaruuksien koliiitti : Samoin, $BU\times \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ $BU(n)\cong \operaattorinimi {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$

{\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].

Todellisessa K - teoriassa käytetään avaruutta BO .

K -teorian Steenrod-operaatioiden analogit ovat Adamsin operaatiot . Niitä voidaan käyttää topologisen K - teorian tunnusluokkien määrittelemiseen.

Topologisen K -teorian jakamisperiaate mahdollistaa mielivaltaisten vektorinippujen väittämien pelkistämisen yksiulotteisten nippujen summia koskeviksi lauseiksi.

Thom-isomorfismi topologisessa K - teoriassa on:

K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),

missä T ( E ) on vektorinipun E Thom -avaruus X :n yläpuolella . Tämä pätee, kun E on spin-nippu.

Atiyah-Hirzebruch-spektrisekvenssi mahdollistaa K -ryhmien laskemisen tavallisista kohomologiaryhmistä.

Topologinen K -teoria voidaan yleistää C*-algebroiden funktoriksi .

Botin jaksollisuus

Jaksoisuus , joka on nimetty Raoul Bottasta , voidaan muotoilla seuraavasti:

$K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ ja , jossa H on tautologisen nipun luokka eli Riemannin pallolla . ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2))$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$

${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$

$\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

Todellisessa K - teoriassa on samanlainen jaksollisuus, vain modulo 8.

Sovellukset

Topologisen K -teorian kaksi tunnetuinta sovellusta ovat Frank Adamsin ansiota . Hän ratkaisi ensin Hopf-invariantin identiteetin ongelman tekemällä laskelmia Adamsin operaatioilla . Sitten hän osoitti ylärajan aloilla olevien lineaarisesti riippumattomien vektorikenttien lukumäärälle .

Zhenin hahmo

Michael Atiyah ja Friedrich Hirzebruch osoittivat lauseen, joka yhdistää CW-kompleksin topologisen K-teorian sen rationaaliseen kohemologiaan. Erityisesti he osoittivat homomorfismin olevan olemassa $X$

ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )

sellasta

{\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb { Q} )\end{aligned}}

On algebrallinen analogi, joka yhdistää Grothendieckin koherenttien pyörät ja tasaisen projektiivisen lajikkeen Chow-renkaan . $X$

Katso myös

Atiyah-Singerin indeksilause

Linkit

↑ [1] . Arkistoitu 17. huhtikuuta 2018 Wayback Machineen

Kirjallisuus

Atiyah, Michael Francis. K-teoria. – 2. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
K-teorian käsikirja. - Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 .
Karoubi, Max. K-teoria: johdanto. - Springer-Verlag , 1978. - ISBN 0-387-08090-2 .
Hatcher. Vektoripaketit ja K-teoria . (määrätön)
Stykow. K-teorian yhteydet geometriaan ja topologiaan . (määrätön)
Karoubi, Max (2006), K-teoria. Perusjohdanto , arΧiv : math/0602082 .