C*-algebra

C*-algebra on Banachin algebra , jonka involuutio täyttää adjoint-operaattorin ominaisuudet .

C*-algebran erikoistapaus on kompleksinen algebra jatkuvien lineaaristen operaattoreiden kentän A yli kompleksisessa Hilbert-avaruudessa , jossa on kaksi lisäominaisuutta:

A on topologisesti suljettu joukko operaattorinormin topologiassa .
A on suljettu operaattoreiden konjugaatioiden ottamisessa .

Toinen tärkeä ei-Hilbert C*-algebroiden luokka ovat jatkuvien funktioiden algebrat avaruudessa . $C_{0}(X)$ $X$

C* -algebroita tarkasteltiin ensin lähinnä tarkoituksena käyttää niitä kvanttimekaniikassa mallintaamaan fyysisesti havaittavien objektien algebroita . Tämä tutkimuslinja alkoi Werner Heisenbergin matriisikvanttimekaniikasta ja matemaattisemmassa muodossa Pascual Jordanin työstä vuoden 1933 tienoilla. Myöhemmin John von Neumann yritti määrittää näiden algebroiden yleisen rakenteen luomalla sarjan papereita operaattorirenkaista. Nämä paperit käsittelivät erityistä C*-algebroiden luokkaa, jotka tunnetaan nykyään von Neumann-algebroina .

Noin 1943 Israel Gelfand ja Mark Naimark käyttivät täysin säännöllisten renkaiden käsitettä, antoivat teoreettisen luonnehdinnan C*-algebroista [1] .

C*-algebrat ovat tällä hetkellä tärkeä työkalu paikallisesti kompaktien ryhmien unitaaristen esitysten teoriassa, ja niitä käytetään myös kvanttimekaniikan algebrallisissa formulaatioissa . Toinen aktiivinen tutkimusalue on erotettavien yksinkertaisten ydin-C*-algebroiden luokittelu tai mahdollisen luokitteluasteen määrittäminen.

Muodollinen määritelmä

C*-algebra [2] on Banach-algebra A kompleksilukujen kentässä , jonka kaikille elementeille on määritetty kuvaus seuraavilla ominaisuuksilla: ${\textstyle x\in A}$ ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$

Tämä kartoitus on involuutio jokaiselle x :lle A :ssa :

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

Kaikille x :ille , y :lle A :ssa :

{\näyttötyyli (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

Jokaiselle kompleksiluvulle A : ssa ja jokaiselle x : lle : $\lambda$ $\mathbb {C}$

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}

Kaikille x :lle A :ssa :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|

Merkintä. Kolme ensimmäistä identiteettiä sanovat, että A on *-algebra . Viimeistä identiteettiä kutsutaan C*-identiteetiksi ja se vastaa kaavaa

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2))$

C*-identiteetti on erittäin vahva vaatimus. Esimerkiksi yhdessä spektrisädekaavan kanssa tästä seuraa, että C* -normin määrittää yksiselitteisesti algebrallinen rakenne:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ ei peruutettavissa}}\}.

Rajoitettua operaattoria : A B C*-algebroiden A ja B välillä kutsutaan *-homomorfismiksi , jos $\pi$ $\to$

kaikille x :lle ja y : lle A :sta ,

{\näyttötyyli \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)}

kaikille x : lle A :sta ,

\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}

C*-algebroiden tapauksessa mikä tahansa C*-algebroiden välinen *-homomorfismi on supistava, eli normin rajoittama . Lisäksi injektiivinen *-homomorfismi C*-algebroiden välillä on isometrinen . Nämä ominaisuudet ovat seurausta C*-identiteetistä. $\pi$ $\leq 1$

Bijektiivista *-homomorfismia kutsutaan C*-isomorfismiksi , jolloin A:n ja B :n sanotaan olevan isomorfisia . $\pi$

Muistiinpanot

↑ I. Gelfand , M. Neumark . Normoitujen renkaiden upottamisesta operaattorien renkaaseen Hilbert-avaruudessa , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.
↑ Tämä määritelmä esitettiin ensimmäisenä artikkelissa I. Gelfand , M. Neumark . Normoitujen renkaiden upottamisesta operaattorien renkaaseen Hilbert-avaruudessa , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.

Linkit

J. Murphy. C *-Algebrat ja operaattoriteoria = C *-Algebrat ja operaattoriteoria. - M .: Factorial, 1997. - ISBN 5-88688-016-X .
Arveson W. Kutsu C*-algebraan (englanniksi). -New York:Springer-Verlag, 1976. - Voi. 13 Matematiikan tutkintotekstejä. - 106 p. —ISBN 0-387-90176-0.
Connes, Alain , Ei-kommutatiivinen geometria , ISBN 0-12-185860-X , < https://archive.org/details/noncommutativege0000conn >
Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1 , < https://archive.org/details/calgebras0000dixm >
Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
AI Shtern (2001), C*-algebra , julkaisussa Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Sakai, S. (1971), C*-algebrat ja W*-algebrat , Springer, ISBN 3-540-63633-1
Segal, Irving (1947), Irreducible representations of Operator algebras , Bulletin of the American Mathematical Society, osa 53 (2): 73–88 , DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5