Fenchelin käyrän kääntölause
Fenchelin lause sanoo, että minkään suljetun käyrän rotaatiovaihtelu ei ole pienempi ja tasa-arvo saavutetaan vain kuperan tasokäyrän tapauksessa. Erityisesti suljetun pituuskäyrän keskimääräinen kaarevuus ei voi olla pienempi kuin .
Lauseen todisti Werner Fenchel . [yksi]
Tietoja todisteesta
Yleensä todistus perustuu väitteeseen, että pallomainen pituuskäyrä on pienempi kuin avoimella pallonpuoliskolla. Tämä väite voidaan todistaa esimerkiksi soveltamalla Croftonin kaavaa , mutta tunnetaan myös alkeellisempia todisteita.
On huomioitava, että alkuperäisen käyrän yksikkötangenttivektoreiden (tangentti-indikaattorin) muodostama käyrä ei voi olla avoimella pallonpuoliskolla. Tämä tarkoittaa, että sen pituus ei ole pienempi kuin , mutta tämän käyrän pituus on sama kuin kaarevuusintegraali.
Muunnelmia ja yleistyksiä
- Reshetnyakin sointulemma Jos säännöllinen sileä viiva lähestyy sointuaan kulmissa ja , käyrän rotaatio on vähintään .
- Tämä väite seuraa helposti Fenchelin lauseesta, mutta sitä on usein kätevämpi käyttää. Esimerkiksi itse Fenchelin lause seuraa, jos sovellamme lemmaa suljetun käyrän jakoon kahdeksi kaareksi.
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3949e127cdd1af020b06369df1a0b89d588f0fdf)
![{\displaystyle [\gamma (a),\gamma (b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b7afbeb3807195be2201db0a4646c4506d8d04)
Muistiinpanot
- ↑ W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (linkki ei saatavilla) , Mathematische Annalen 101: 238-252.
Kirjallisuus
- Toponogov, V. A. Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .