Khinchin-Kolmogorov-lause (tunnetaan myös nimellä Wiener-Hinchin-lause ja joskus Wiener-Hinchin-Einstein-lause ) sanoo, että laajalti stationaarisen satunnaisprosessin tehospektritiheys on vastaavan autokorrelaatiofunktion Fourier-muunnos . [1] [2] [3]
Jatkuva tapaus:
missä
on autokorrelaatiofunktio, joka on määritelty matemaattisena odotuksena , ja missä on funktion tehospektritiheys . Huomaa, että autokorrelaatiofunktio määritellään tulon matemaattisen odotuksen perusteella ja että Fourier-muunnos ei ole olemassa yleisessä tapauksessa, koska stationaariset satunnaisfunktiot eivät ole integroitavissa neliössä.
Asteriski tarkoittaa monimutkaista konjugaatiota, se voidaan jättää pois, jos satunnainen prosessi on todellinen.
Erillinen tapaus:
missä
ja missä
on tehospektritiheys diskreeteillä arvoilla . Diskreettiaikanäytteissä järjestettynä spektritiheys on jaksollinen funktio taajuusalueella.
Lause on kätevä lineaaristen stationaaristen järjestelmien analysointiin , joissa tulo- ja lähtöarvot eivät ole kvadratuuriintegroitavissa, minkä vuoksi Fourier-muunnoksia ei ole olemassa. Tämän seurauksena LSS-järjestelmän lähtösignaalin autokorrelaatiofunktion Fourier-muunnos on yhtä suuri kuin järjestelmän tulosignaalin autokorrelaatiofunktion Fourier-muunnos ja Fourier-muunnoksen moduulin neliö. sen impulssivaste . Tämä pätee myös silloin, kun tulo- ja lähtösignaaleissa ei ole Fourier-muunnoksia, koska ne eivät ole integroitavissa. Tästä syystä impulssinsiirtofunktion Fourier-muunnos ei voi suoraan yhdistää tulo- ja lähtöparametreja.
Siitä tosiasiasta, että signaalin autokorrelaatiofunktion Fourier-muunnos on signaalin tehospektri, seuraa, että lähtösignaalin tehospektri on yhtä suuri kuin tulon tehospektrin ja signaalin siirtofunktion tulo. järjestelmä.
Tätä seurausta käytetään tehospektrin etsimisessä parametrisella menetelmällä.
Määritelmissä, jotka sisältävät äärettömiä integraaleja spektritiheydelle ja autokorrelaatiolle , Khinchin–Kolmogorov-lause on yksinkertaisesti Fourier-muunnospari, joka on helposti todistettavissa mille tahansa integroitavalle funktiolle, eli jolle on olemassa Fourier-muunnoksia. Kätevämmin ja historiallisesti katsottuna stationäärisille signaaleille, joille ei ole Fourier-muunnoksia, lausetta sovelletaan käyttämällä autokorrelaatiofunktion määritelmää matemaattisen odotuksen, ei äärettömän integraalin kannalta. Hinchin–Kolmogorov-lauseen yksinkertaistaminen on yleistä nykyaikaisessa teknisessä kirjallisuudessa ja hämärtää A. Ya. Khinchinin , Norbert Wienerin ja A. N. Kolmogorovin panoksia .