Seifert-van Kampenin lause

Seifert-van Kampenin lause ilmaisee topologisen avaruuden perusryhmän kahden avoimen avaruuden peittävän osajoukon perusryhminä.

Nimetty Herbert Seifertin ja Egbert van Kampenin mukaan .

Sanamuoto

Antaa olla topologinen avaruus, olla kaksi polkukytkettyä avointa joukkoa siten, että leikkauspiste on myös polkuyhteys, ja . Korjataan kohta . Huomaa, että sulkeumat $X$ $V,U\subset X$ $W=V\cap U$ $X=V\cup U$ $p\in W$

W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X

aiheuttaa vastaavien perusryhmien homomorfismeja

I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)

, , ja .

J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)

\pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)

\pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)

Seifert-van Kampenin lauseen mukaan nämä neljä homomorfismia määrittelevät Codecartes-neliön ryhmien luokassa, ts.

\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V, p).

Muistiinpanot

Jos tehtävät ryhmien ja $\pi _{1}(U,p)$ $\pi _{1}(V,p)$ ${\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _ {n}\rangle \\\end{aligned}}$

ja ovat sitten ryhmien luojia

{\displaystyle w_{1},\cdots ,w_{s))

\pi _{1}(W,p)

\pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _ {1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1} ,\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .

Seuraukset

Jos risteys on yksinkertaisesti yhdistetty , niin $W$ $\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),$

eli perusryhmä on isomorfinen perusryhmien vapaalle tulolle ja .

X

U

V

Erityisesti,

\pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),

joukolle yhdistettyjä ja paikallisesti yksinkertaisesti yhdistettyjä tiloja ja .

X_{1}\vee X_{2}

X_{1}

X_{2}

Tila on yksinkertaisesti yhdistetty, jos se voidaan peittää kahdella yksinkertaisesti yhdistetyllä avoimella joukolla, joissa on yhdistetty leikkauspiste.
- Esimerkiksi pallo voidaan peittää kahdella kiekolla ja , missä ja merkitsevät pohjois- ja etelänapaa, vastaavasti. Huomaa, että risteys on yhdistetty. Siten perusryhmä on myös Seifert-van Kampenin lauseen mukaan triviaali. $X=S^{2}$ ${\displaystyle U=S^{2}\backslash \{n\))$ $V=S^{2}\backslash \{s\}$ $n$ $s$ ${\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\))$ $W$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Lauseen perusryhmäoideille on yleistys. Sen avulla voit työskennellä, jos sitä ei ole kytketty. $W$
Mayer-Vietoris-sekvenssi on samanlainen homologian laskemisen teoreema .

Linkit

V. V. Prasolov. Kombinatorisen ja differentiaalisen topologian elementit . - M .: MTsNMO, 2004. - 352 s.
Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
ER van Kampen. Joidenkin toisiinsa liittyvien tilojen perusryhmien välisestä yhteydestä. American Journal of Mathematics, voi. 55 (1933), ss. 261-267.