Mayer-Vietoris sekvenssi

Mayer-Vietoris-sekvenssi on luonnollinen pitkä tarkka sekvenssi , joka yhdistää avaruuden homologian kahden avoimen joukon ja niiden leikkauskohtien homologiaan.

Mayer-Vietoris-sekvenssi voidaan kirjoittaa erilaisille homologiateorioille , mukaan lukien yksittäisille teorioille, sekä kaikille teorioille, jotka täyttävät Steenrod-Eilenberg-aksioomit .

Nimetty kahden itävaltalaisen matemaatikon Walter Mayerin ja Leopold Vietorisin mukaan .

Sanamuoto

Oletetaan , että topologinen avaruus on esitetty avoimien osajoukkojen ja . Mayer-Vietoris sekvenssi: $X$ $A$ $B$

{\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*))}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\nuoli oikealle \,0.\end{aligned}}

Tässä kuvaukset , , , ovat inkluusiokartoituksia ja merkitsevät Abelin ryhmien suoraa summaa . $i\colon A\cap B\to A$ $j\colon A\cap B\to B$ $k\colon A\to X$ $l\colon B\to X$ $\oplus$

Ulottuvuutta vähentävä rajakartoitus voidaan määritellä seuraavasti. Elementtiä edustaa -sykli , joka voidaan kirjoittaa kahden -ketjun ja -ketjun summana , jonka kuvat ovat kokonaan sisällä ja vastaavasti. Tämä voidaan saavuttaa soveltamalla barysentristä alajakoa useaan kertaan. $\partial _{*}$ $H_{n}(X)$ $n$ $x$ $n$ $u$ $v$ $A$ $B$ $x$

Niin , niin . Huomaa, että sekä rajat että sijaitsevat . Sitten se määritellään luokaksi . Tässä tapauksessa laajennuksen valinta ei vaikuta arvoon . $\partial x=\partial u+\partial v=0$ $\partial u=-\partial v$ $\partial u$ $\partial v$ $A\kansi B$ $\partial _{*}[x]$ $[\partial u]\in H_{n-1}(A\cap B)$ $x=u+v$ $[\partial u]$

Muistiinpanot

Jakson kartoitukset riippuvat tilauksen valinnasta ja . $A$ $B$
- Erityisesti rajakartoituksen muutosmerkki, jos ja vaihdetaan keskenään. $A$ $B$

Sovellukset

Pallohomologia

K - ulotteisen pallon homologian laskemiseksi kuvittele pallo kahden k - ulotteisen kiekon liitoksi ja jonka leikkauspiste on homotooppisesti ekvivalentti -ulotteisen ekvatoriaalisen pallon kanssa . Koska ja ovat supistettavissa, Mayer-Vietoris-sekvenssi viittaa sekvenssien tarkkuuteen $S^{k}$ $A$ $B$ $(k-1)$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $A$ $B$

0\rightarrow H_{n}(S^{k}){\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}(S^{k-1})\rightarrow 0

osoitteessa . Tarkkuus viittaa välittömästi siihen, että homomorfismi ∂ * on isomorfismi arvolle . Näin ollen $n\geqslant 1$ $n\geqslant 1$

H_{n}(S^{k})\cong \mathbb {Z}

, jos ,

n=k,0

muuten

H_{n}(S^{k})\cong 0

Kleinin pullo

Klein-pullon homologian laskemiseksi esitämme sen kahden Möbius-nauhan yhdistelmänä , jotka on liimattu niiden rajaympyrää pitkin. Sitten , ja niiden leikkauspisteet ovat homotopically vastaa ympyrää. Jakson ei-triviaali osa antaa $A$ $B$ $A$ $B$ $A\kansi B$

0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \,\mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\alpha }}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{ 1}(X)\nuoli oikealle 0

Triviaali osa edellyttää homologian nollaamista dimensioissa 3 ja sitä suuremmissa. Huomaa, että Koska Möbius-kaistaleen rajaympyrä kiertyy kahdesti sen keskiviivan ympärille. Erityisesti se on injektiivinen . Siksi ,. Valitsemalla perusteet (1, 0) ja (1, 1) kohdassa , saamme $\alpha (1)=(2,2)$ $\alpha (1)$ $H_{2}(X)=0$ $\mathbb {Z} ^{2}$

{\displaystyle {H}_{1}\left(X\right)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2))

Muunnelmia ja yleistyksiä

Vähentynyt homologia tyydyttää myös Mayer-Vietoris-sekvenssin olettaen, että ja niillä on ei- tyhjä leikkauspiste. Tämä sarja on identtinen tavallisen kanssa, mutta päättyy näin: $A$ $B$ $\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,{\tilde {H }}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H} }_{0}(X)\rightarrow \,0.$
Suhteellisten homologioiden osalta järjestys on seuraava: $\cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,H_{n}(A, C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _ {*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots$

Katso myös

Van Kampenin lause