Lagrangen sarjan inversiolause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. joulukuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Lagrangen sarjainversiolause tekee mahdolliseksi kirjoittaa tietyn analyyttisen funktion käänteisarvo äärettömäksi sarjaksi. Lauseella on sovelluksia kombinatoriikassa.

Sanamuoto

Olkoon funktio analyyttinen kohdassa ja . Sitten jossain pisteen naapurustossa sille käänteinen funktio voidaan esittää muodon sarjalla $f(z)$ $z_{0}$ $f'(z_{0})\neq 0$ $w_{0}=f(z_{0})$ $f^{{-1}}(w)$

f^{-1}(w)=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\left.\left({ \ frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\vasen({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\oikea) ^ {n}\oikea)\oikea|_{z=z_{0}}(w-_{w}0)^{n}.

Sovellukset

Burman-Lagrange-sarja

Burman–Lagrange-sarja määritellään holomorfisen funktion laajennuksena toisen holomorfisen funktion potensseissa , ja se on yleistys Taylor-sarjasta . $f(z)$ $w(z)$

Olkoon ja olla holomorfinen jonkin pisteen naapurustossa , ja olla funktion yksinkertainen nolla . Nyt valitsemme verkkotunnuksen , jossa ja ovat holomorfisia ja ovat univalentteja . Sitten on muodon hajoaminen: $f(z)$ $w(z)$ $a\in \mathbb {C}$ $w(a) = 0$ $a$ $w(z)$ $D\ni a$ $f$ $w$ $w$ $\overline {D}$

f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),

jossa kertoimet lasketaan seuraavan lausekkeen mukaisesti: $d_{n}$

d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{\partial D}}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{ {n+1}}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!)}}\lim _{{z\to a}}{\frac {d^{{n - 1}}}{dz^{{n-1}}}}\left\{f'(z){\frac {(za)^{n}}{w^{n}(z)))\ oikea \}.

Sarjan inversiolause

Erityinen sarjan käytön tapaus on ns. Taylor-sarjan inversioongelma .

Harkitse muodon hajotusta . Yritetään käyttää tuloksena olevaa lauseketta sarjan kertoimien laskemiseen : ${\displaystyle w=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n))$ ${\displaystyle z=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n))$

b_{n}={\frac {1}{n!)}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}} } \left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.

Yleistykset

Lauseen ehdoissa muodon superpositio tyydyttää esityksen sarjan muodossa $F\circ f^{{-1}}$

F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\left.\ vasen ({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z) ) -w_{0}}}\oikea)^{n}\oikea)\oikea)\oikea|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Lagrange-laajennus (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Series Reversion (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Bürmann-Lagrange- sarja