Lause yksiarkisen hyperboloidin suoraviivaisista generaattoreista

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. syyskuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Yksilevyisen hyperboloidin jokaisen pisteen läpi kulkee kaksi erilaista suoraa, jotka sijaitsevat kokonaan tällä pinnalla.

Todiste

Harkitse linjat ja , koska linjat leikkaus tasot : $L_{1}$ $L_{2}$

$L_{1}:\quad \alpha \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\beta \left(1-{y \over b}\right);\ ;\beta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\alpha \left(1+{y \over b}\right);\;\alpha ^{2}+\ beta ^{2}\neq 0$

$L_{2}:\quad \gamma \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\delta \left(1+{y \over b}\right);\ ;\delta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\gamma \left(1-{y \over b}\right);\;\gamma ^{2}+\ delta ^{2}\neq 0$

Viivat ovat kokonaan pinnalla (tämän näkemiseksi riittää kertoa tasojen yhtälöt termillä). Lisäksi jokaisen pinnan pisteen läpi kulkee ainoa linja perheestä ja ainoa linja perheestä . Nämä rivit (eli numeroparit ja ) löytyvät homogeenisista lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmistä : $L_{1}$ $L_{2}$ $M_{0}(X_{0},Y_{0},Z_{0})$ $L_{1}$ $L_{2}$ $\alpha ,\beta$ $\gamma ,\delta$

$\alpha ,\beta :\quad \alpha \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\beta \left(1-{Y_{0 } \over b}\right);\;\beta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\alpha \left(1+{Y_{0 }\yli b}\oikea)$

$\gamma ,\delta :\quad \gamma \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\delta \left(1+{Y_{0 } \over b}\right);\;\delta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\gamma \left(1-{Y_{0 }\yli b}\oikea)$

joiden matriisit ovat degeneroituneita (eli järjestelmillä on ei-triviaaleja ratkaisuja) ja niiden järjestys on yhtä suuri kuin 1 (eli kunkin järjestelmän kaikki ratkaisut ovat verrannollisia ja määrittävät yhden suoran). On vielä lisättävä, että suorat eivät täsmää (riittää tarkistaa niiden suuntavektorien epäkollineaarisuus) .

Katso myös

Hyperboloidi