Täydellisyyslause

Täydellisyyslause on väite äärellisten ryhmien esitysten ominaisuuksista, että mitä tahansa äärellisen ryhmän funktiota voidaan laajentaa tämän ryhmän redusoitumattomien esitysten matriisin elementtien suhteen . Tämän laajennuksen kertoimia kutsutaan Fourier-kertoimiksi analogisesti trigonometristen sarjojen teorian kanssa. Sillä on tärkeä rooli ryhmäteoriamenetelmien soveltamisessa fysiikassa [1] .

Sanamuoto

Mitä tahansa äärellisen ryhmän funktiota voidaan laajentaa redusoitumattomien esitysten matriisielementeillä: $F(h)$ $G$

F(h)=\sum _{i=1}^{\sigma }\sum _{m,n=1}^{s_{i}}C_{mn}^{(i)}\tau _{mn}^{(i)}(h)

jossa: on ryhmän ei-ekvivalenttien pelkistymättömien esitysten kokonaismäärä , on -:nnen pelkistymättömän esityksen kanonisen perustan vektorien lukumäärä , ovat -:nnen pelkistymättömän esityksen matriisin elementit . $\sigma$ $G$ ${\displaystyle s_{i))$ $i$ ${\displaystyle \tau _{mn}^{(i)))$ $i$

Todiste

Määrittelemme säännöllisen esityksen ryhmälle käyttämällä operaattoria , joka toimii ryhmän funktioiden avaruudessa ja jonka määrittelee relaatio $T$ $G$ $T(g)$ $\Phi$

T(g)\phi (h)=\psi (h)\equiv \phi (hg)

(yksi),

missä on mielivaltainen funktio ryhmässä. ${\näyttötyyli \phi (h)}$

Operaattori määrittelee ryhmän esityksen avaruudessa , koska ja sen perusteella . $T(g)$ $T$ $G$ $\Phi$ $T(e)=E$ $T(g_{1})T(g_{2})=T(g_{1}g_{2})$ $T(g_{1})T(g_{2})\phi (h)=T(g_{1})\psi (h)=\psi (hg_{1})=\phi (hg_{ 1}g_{2})=T(g_{1}g_{2})\phi (h)$

Avaruus voidaan esittää aliavaruuksien summana: $\Phi$

{\displaystyle \Phi =\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\Phi _{m}^{(\alpha )))

johtuen siitä, että kuten mikä tahansa äärellisen ryhmän esitys, esitys on pelkistymättömien esitysten summa. Tässä ovat aliavaruudet, jotka muuntuvat operaattorin vaikutuksesta pelkistymättömään esitykseen , on kokonaisluku, joka tarkoittaa esityksen esiintymien lukumäärää säännöllisessä esityksessä . $T$ ${\displaystyle \Phi _{m}^{(\alpha )},m=1,...,m_{\alpha ))$ $T(g)$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ))$ ${\displaystyle m_{\alpha ))$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ))$ $T$

Käytetään sitä tosiasiaa, että jokaisessa aliavaruudessa on kanoninen perusta, joukko funktioita , jotka muuntuvat operaattoreiden vaikutuksesta seuraavasti: ${\displaystyle \Phi _{m}^{(\alpha )))$ ${\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(h),j=1,2,...,s_{\alpha ))$ $T(g)$

T(g)\phi _{j}^{\alpha m}(h)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha } (g)\phi _{l}^{\alpha m}(h)

(2)

Avaruuden kanta saadaan yhdistämällä sen kaikkien aliavaruuksien kantafunktiot ja siten laskemalla kertoimet . Tuloksena saamme: $\Phi$ ${\displaystyle C_{j}^{\alpha m))$

{\displaystyle F(h)=\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\sum _{j=1}^{s_{ \alpha }}C_{j}^{\alpha m}\phi _{j}^{(\alpha m)))

(3)

Todistuksen viimeistelemiseksi määrittelemme funktiot . Kaavoista (1, 2) saadaan: ${\displaystyle \phi _{j}^{(\alpha m)))$

\phi _{j}^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\ phi _{l}^{(\alpha m)}(h)

Laitetaan tähän kaavaan . Kaava näyttää tältä: $h=e$

\phi _{j}^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\ phi _{l}^{(\alpha m)}(e)

Siten mikä tahansa funktio laajenee sarjaksi matriisielementtejä . Yhtälöstä (3) seuraa, että mielivaltaisella funktiolla on sama ominaisuus [2] . $\phi _{j}^{\alpha m}(g)$ ${\displaystyle \tau _{lj}^{\alpha }(g),l=1,2....,s_{\alpha ))$ $F(h)$

Katso myös

Fourier-kertoimet

Muistiinpanot

↑ Lyubarsky, 1986 , s. 181.
↑ Lyubarsky, 1986 , s. 183.

Kirjallisuus

Lyubarsky G.Ya. Ryhmien teoria ja fysiikka. - M .: Nauka, 1986. - 224 s.