Fourier-sarja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Fourier-sarja - funktion esitysjaksollasarjana $f$ $\tau$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\ frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)

Tämä sarja voidaan kirjoittaa myös nimellä

f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{ \tau }}x},

missä

A_k

on harmonisen värähtelyn amplitudi ,

k

k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega

on harmonisen värähtelyn ympyrätaajuus,

\theta_k

on värähtelyn alkuvaihe ,

k

\hat{f}_k

- kompleksinen amplitudi

k

Yleisemmässä muodossa jonkin funktioavaruuden elementin Fourier-sarja on tämän elementin laajennus täydellisessä ortonormaalisten funktioiden järjestelmässä tai toisin sanoen ortogonaalisista funktioista koostuvassa kannassa . Käytetyn integroinnin tyypistä riippuen puhutaan Fourier-Riemann- sarjoista , Fourier-Lebesgue-sarjoista jne. [1]

On olemassa monia ortogonaalisten polynomien ja muiden ortogonaalisten funktioiden järjestelmiä (kuten Haar- , Walsh- ja Kotelnikov-funktiot), joissa funktion Fourier-sarjan laajennus voidaan suorittaa.

Funktion Fourier-sarjan laajennus on tehokas työkalu monenlaisten ongelmien ratkaisemiseen, koska Fourier-sarja käyttäytyy läpinäkyvästi, kun se erottaa , integroi , siirtää funktiota argumentin suhteen ja konvoloi funktioita.

Fourier-sarjan yleistyksiä on lukuisia matematiikan eri aloilla. Esimerkiksi mikä tahansa äärellisessä ryhmässä oleva funktio voidaan laajentaa sarjaksi, joka on samanlainen kuin Fourier-sarja sen ryhmän redusoitumattomien esitysten matriisielementtien suhteen ( täydellisyyslause ).

Historia

Fourier-sarja on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean-Baptiste Joseph Fourierin (1768-1830) mukaan, joka vaikutti merkittävästi trigonometristen sarjojen tutkimukseen Leonhard Eulerin , Jean Léron d'Alembertin ja Daniil Bernoullin [2] alustavien tutkimusten jälkeen . Fourier esitteli sarjan lämpöyhtälön ratkaisemiseksi metallilevyssä, kirjoittamalla alustavat tulokset kirjassaan Reminiscence of the Propagation of the Heat in Solids (Treatise on the Propagation of Heat in Solids) ja julkaisemalla sen teoksessa Analytical Theory of Heat (Théorie analytique de la chaleur) vuonna 1822. Muistutus antaa analyysin Fourierista, erityisesti Fourier-sarjasta. Fourier'n tutkimuksen ansiosta todettiin, että mielivaltainen (jatkuva) [3] funktio voidaan esittää trigonometrisellä sarjalla. Ensimmäisen ilmoituksen tästä suuresta löydöstä teki Fourier vuonna 1807 ennen Ranskan Akatemiaa [4] . Varhaiset ajatukset jaksollisen funktion laajentamisesta yksinkertaisten värähtelyfunktioiden summaksi juontavat juurensa 3. vuosisadalla eKr., jolloin muinaiset tähtitieteilijät ehdottivat empiiristä mallia planeettojen liikkeestä, joka perustuu perheisiin ja episykliin.

Lämpöyhtälö on osittainen differentiaaliyhtälö. Ennen Fourierin työtä lämpöyhtälön ratkaisu ei ollut yleisesti tiedossa, vaikka tiettyjä ratkaisuja tiedettiin, jos lämmönlähde käyttäytyi yksinkertaisella tavalla, erityisesti jos lämmönlähde oli sini- tai kosiniaalto. Näitä yksinkertaisia ratkaisuja kutsutaan nykyään joskus alkuperäisiksi ratkaisuiksi. Fourierin ideana oli mallintaa monimutkainen lämmönlähde yksinkertaisten sini- ja kosiniaaltojen superpositiona (tai lineaarisena yhdistelmänä) ja kirjoittaa ratkaisu vastaavien ominaisratkaisujen superpositioksi. Tätä superpositiota tai lineaarista yhdistelmää kutsutaan Fourier-sarjaksi.

Nykyajan näkökulmasta Fourier'n tulokset ovat jokseenkin epävirallisia, koska 1800-luvun alussa ei ollut tarkkaa käsitettä toiminnasta ja integraalista. Myöhemmin Peter Gustav Lejeune Dirichlet [5] ja Bernhard Riemann [6] [7] [8] ilmaisivat Fourierin tulokset tarkemmin ja muodollisemmin.

Vaikka alkuperäinen motivaatio oli ratkaista lämpöyhtälö, myöhemmin kävi ilmi, että samoja menetelmiä voitiin soveltaa monenlaisiin matemaattisiin ja fysikaalisiin ongelmiin, erityisesti niihin, jotka sisältävät lineaarisia differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla, joiden ominaisratkaisut ovat sinimuotoisia. Fourier-sarjalla on monia sovelluksia sähkötekniikassa, värähtelyanalyysissä, akustiikassa, optiikassa, signaalinkäsittelyssä, kuvankäsittelyssä, kvanttimekaniikassa, ekonometriiassa [9] , limityskuoriteoriassa [ 10] jne.

Trigonometrinen Fourier-sarja

Funktion trigonometrinen Fourier-sarja ( eli funktio , joka summataan väliin , tai sen jaksollinen laajennus reaaliviivalle ) on funktionaalinen sarja muotoa $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $([-\pi ,\pi ])$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),

(yksi)

missä

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Lukuja ja ( ) kutsutaan funktion Fourier-kertoimiksi . Niiden kaavat voidaan selittää seuraavasti. Oletetaan, että haluamme esittää funktion sarjana (1) ja meidän on määritettävä tuntemattomat kertoimet , ja . Jos kerromme (1):n oikean puolen ja integroimme väliin , niin kaikki oikean puolen termit katoavat tämän välin sinien ja kosinien ortogonaalisuuden vuoksi yhtä lukuun ottamatta. Tuloksena olevasta yhtälöstä kerroin ilmaistaan helposti . Samoin . $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldots$ $f$ $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Sarja (1) funktiolle avaruudesta suppenee tässä avaruudessa . Toisin sanoen, jos merkitsemme sarjan (1) osittaissummilla: $f$ ${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

silloin niiden keskipoikkeama funktiosta on yleensä nolla: $f$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

Huolimatta neliökeskiarvokonvergenssista, funktion Fourier-sarjan ei yleisesti ottaen tarvitse konvergoida siihen pisteittäin.

Usein Fourier-sarjan kanssa työskennellessä on kätevämpää käyttää perustana imaginaariargumentin eksponenteja sinien ja kosinien sijaan. Käsittelemme monimutkaisten arvoisten funktioiden tilaa ${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ sisäisen tuotteen kanssa

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Otamme myös huomioon funktiojärjestelmän

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Kuten ennenkin, nämä funktiot ovat pareittain ortogonaalisia ja muodostavat täydellisen järjestelmän, joten mikä tahansa funktio voidaan laajentaa niiden päälle Fourier-sarjassa: $f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

jossa oikeanpuoleinen sarja supistuu normiin vuonna . Tässä $f$ $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Kertoimet suhteutetaan klassisiin Fourier-kertoimiin seuraavilla suhteilla: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0

\hat{f}_0 = a_0/2

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0

Reaaliarvoisen funktion kertoimet ja ovat monimutkaisia konjugaattia. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Yleistykset

Fourier-sarja Hilbert-avaruudessa

Edellä kuvattu rakenne voidaan yleistää trigonometrisen järjestelmän avaruudesta $L^2[-\pi,\pi]$ mielivaltaiseen Hilbert-avaruuteen. Antaa annetaan ortogonaalinen järjestelmä Hilbert - avaruudessa ja olla mielivaltainen elementti . Oletetaan, että haluamme esittää (äärettömänä) lineaarisena elementtien yhdistelmänä : $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ $H$ $f$ $H$ $f$ $\{\varphi_k\}$

f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.

Kerrotaan tämä lauseke . Kun otetaan huomioon funktiojärjestelmän ortogonaalisuus , kaikki sarjan termit katoavat, paitsi termi kohdassa : $\varphi_k$ $\{\varphi_k\}$ $n=k$

(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.

Numerot

{\displaystyle c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2))))

kutsutaan koordinaateiksi tai järjestelmän elementin Fourier-kertoimiksi ja sarjaksi $f$ $\{\varphi_k\}$

\sum_k c_k \varphi_k

kutsutaan elementin Fourier-sarjaksi ortogonaalisessa järjestelmässä . $f$ $\{\varphi_k\}$

Minkä tahansa ortogonaalisen järjestelmän elementin Fourier-sarja konvergoi avaruudessa , mutta sen summa ei välttämättä ole yhtä suuri kuin . Ortonormaalille järjestelmälle erotettavassa Hilbert- avaruudessa seuraavat ehdot ovat vastaavat: $f$ $H$ $f$ ${\varphi_k}$

järjestelmä on kanta , eli minkä tahansa elementin Fourier-sarjan summa on yhtä suuri kuin tämä elementti.
järjestelmä on valmis , eli ei ole nollasta poikkeavaa elementtiä, joka on ortogonaalinen kaikille elementeille samanaikaisesti. $H$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$
järjestelmä on suljettu , eli mille tahansa , Parseval -yhtälölle $f\in H$

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2))

lineaariset elementtien yhdistelmät ovat avaruudellisesti tiheitä . $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ $H$

Jos nämä ehdot eivät täyty, niin elementin Fourier-sarjan summa on yhtä suuri kuin sen ortogonaalinen projektio elementtien lineaarisen jännevälin sulkeutumiseen . Tässä tapauksessa Parseval-yhtälön sijasta Besselin epäyhtälö on totta : $f$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$

\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.

Esimerkkejä

Trigonometriset funktiot muodostavat Hilbertin avaruuden perustan . Jos otamme huomioon vain kosinit tai vain sinit, tällainen järjestelmä ei ole enää täydellinen. Funktioiden lineaarisen välin sulkeminen on kaikki parilliset funktiot alkaen ja funktioiden lineaarisen välin sulkeminen kaikki parittomat funktiot. Seurauksena funktion laajentamisesta Fourier-sarjaan näissä järjestelmissä saadaan funktion parilliset ja parittomat osat , vastaavasti : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $L_2[-\pi,\pi]$ $\cos(kx)$ $L_{2}$ $\sin(kx)$ $f$ $f$

\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2)),

\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2)).

Vielä mielenkiintoisempi tilanne syntyy järjestelmää tarkasteltaessa . Tämä järjestelmä ei taaskaan ole täydellinen. Sen lineaarisen jänteen sulkeminen on Hardy-avaruus . Tämän avaruuden elementit ovat ne ja vain ne funktiot , joilla on muoto , missä ovat jonkin ympyrän analyyttisen funktion raja-arvot $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}$ $H_2$ $f\in L_2$ $f(t)=g(e^{it})$ $g$ $|z|<1.$

Pontryagin kaksinaisuus

Kun Fourier-sarjan teoriaa yleistetään Hilbert-avaruuksien tapaukselle, menetetään Fourier-sarjan yhteyttä konvoluutioon ilmaisevat ominaisuudet - se, että funktioiden konvoluution Fourier-kertoimet ovat niiden Fourier-kertoimien termisiä tuloja ja päinvastoin, tuotteen Fourier-kertoimet esitetään tekijöiden Fourier-kertoimien konvoluutiona. Nämä ominaisuudet ovat avainasemassa Fourier-teorian sovelluksissa differentiaali- , integraali- ja muiden funktionaalisten yhtälöiden ratkaisussa. Siksi erittäin mielenkiintoisia ovat sellaiset Fourier-sarjan teorian yleistykset, joissa nämä ominaisuudet säilyvät. Tällainen yleistys on Pontryaginin kaksinaisuusteoria. Se ottaa huomioon paikallisesti kompakteille Abelin ryhmille määritettyjä funktioita . Tällaisen funktion Fourier-sarjan analogi on kaksoisryhmässä määritelty funktio.

Fourier-sarjan konvergenssi

Fourier-sarjan konvergenssituloskysely

Merkitse Fourier-sarjan osasummilla funktiot : $S_N(f,x)$ $f(x)$

S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}

Seuraavaksi käsittelemme funktiosarjan konvergenssia funktioon eri merkityksissä. Toiminnon oletetaan olevan -jaksollinen (jos se annetaan vain välissä , sitä voidaan jatkaa jaksoittain). $S_N(f,x)$ $f(x)$ $f$ $2\pi$ $[-\pi,\pi]$

Jos , sekvenssi konvergoi funktioon merkityksessä . Lisäksi ovat funktion parhaat (etäisyyden suhteen ) approksimaatiot korkeintaan asteisen trigonometrisen polynomin avulla . $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $S_N(f,x)$ $f(x)$ $S_N(f,x)$ $L_{2}$ $f$ $N$
Fourier-sarjan konvergenssi tietyssä pisteessä on paikallinen ominaisuus, eli jos funktiot ja osuvat yhteen tietyssä naapurustossa , niin sekvenssit ja joko divergoivat tai suppenevat samanaikaisesti, jolloin niiden rajat osuvat yhteen. (Lokalisoinnin periaate). $x_{0}$ $f$ $g$ $x_{0}$ $S_N(f,x_0)$ $S_N(g,x_0)$
Jos funktio on differentioituva jossakin pisteessä , sen Fourier-sarja konvergoi tähän pisteeseen . Tarkemmat riittävät ehdot funktion sileyden kannalta saadaan Dini -testillä . $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $f$
Pisteessä jatkuvalla funktiolla voi olla Fourier-sarja, joka hajoaa siinä. Jos se kuitenkin lähentyy, niin kaikin keinoin . Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että jatkuvassa funktiossa sekvenssi konvergoi Cesàron merkityksessä arvoon . $x_{0}$ $f(x_{0})$ $x_{0}$ $f$ $S_N(f,x_0)$ $f(x_{0})$
Jos funktio on epäjatkuva kohdassa , mutta sillä on rajat tässä pisteessä oikealla ja vasemmalla, niin joissain lisäehdoissa konvergoi . Katso tarkemmat tiedot modifioidusta Dini - kyltistä . $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),$ $S_N(f,x_0)$ $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$
Carlesonin lause: jos , niin sen Fourier-sarja suppenee siihen lähes kaikkialla . Tämä on myös totta, jos . On kuitenkin olemassa funktioita , joiden Fourier-sarja hajoaa kaikissa pisteissä (esimerkin tällaisesta funktiosta rakensi Kolmogorov [11] ). $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1$ $L_1([-\pi,\pi])$
Korjataan kohta . Tällöin kaikkien jatkuvien funktioiden joukko, joiden Fourier-sarja suppenee tässä vaiheessa, on avaruuden ensimmäisen kategorian joukko . Tietyssä mielessä tämä tarkoittaa, että "tyypillisellä" jatkuvalla funktiolla on erilainen Fourier-sarja. $x_0\in(-\pi,\pi)$ $C([-\pi,\pi])$

Fourier-kertoimien pieneneminen ja funktion analyyttisyys

Funktion analyyttisuuden ja sen Fourier-kertoimien pienenemisnopeuden välillä on perustavanlaatuinen yhteys. Mitä "parempi" funktio, sitä nopeammin sen kertoimet ovat yleensä nollassa ja päinvastoin. Fourier-kertoimien potenssilain vaimeneminen on luontaista luokan funktioille ja eksponentiaalinen vaimeneminen analyyttisille funktioille . Esimerkkejä tällaisesta yhteydestä: $C^{(k)}$

Minkä tahansa integroitavan funktion Fourier-kertoimet ovat yleensä nolla ( Riemann-Lebesguen lemma ).
Jos funktio kuuluu luokkaan , eli se on differentioituva aika ja sen - :s derivaatta on jatkuva, niin $f$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k$ $k$ $\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\oikea)$
Jos sarja konvergoi absoluuttisesti , se on lähes kaikkialla sama kuin kaikkien luokkafunktion kanssa . $\sum n^{\alpha}\hat{f}_n$ $f$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k<\alpha$
Jos funktio kuuluu Hölder-luokkaan eksponentti , niin sarja konvergoi absoluuttisesti ( Bernsteinin lause ). $\alpha>1/2$ $\sum \hat{f}_n$
Jos , niin trigonometrinen Fourier - sarja konvergoi analyyttiseksi funktioksi . $\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Matemaattinen tietosanakirja . - M . : "Pöllöt. tietosanakirja" , 1988. - S. 619 .
↑ Fetter, Alexander L. Hiukkasten ja jatkuvuuden teoreettinen mekaniikka / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. - Courier, 2003. - S. 209-210. — ISBN 978-0-486-43261-8 . Arkistoitu 18. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Hyvä kuitenkin, John Logiikka ja matematiikan filosofia 1800-luvulla // Routledge History of Philosophy / Ten, CL. - Routledge , 2013. - T. Volume VII: The Nineteenth Century. - S. 204. - ISBN 978-1-134-92880-4 . Arkistoitu16. toukokuuta 2020Wayback Machinessa
↑ Florian Cajori . Matematiikan historia . - Macmillan, 1893. - S. 283.
↑ Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (ranska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1829. - Voi. 4 . - s. 157-169 . - arXiv : 0806.1294 .
↑ Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (saksa) ? . Habilitationsschrift , Göttingen ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , voi. 13, 1867. Richard Dedekind on julkaissut postuumisti Riemannille . Haettu 19. toukokuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 20. toukokuuta 2008. (määrätön)
↑ Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Postuumilainen opinnäytetyö funktioiden esittämisestä trigonometrisilla sarjoilla , Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier , < https://books , .google.com/books?id=UdGBy8iLpocC >
↑ Remmert, Reinhold. Monimutkaisten funktioiden teoria: Matematiikan lukemat (englanti) . - Springer, 1991. - S. 29. Arkistoitu 16. toukokuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Taloudellisen aikasarjan analyysi. Talousteoria, ekonometria ja matemaattinen taloustiede (englanniksi) . - Elsevier , 1995. - ISBN 0-12-515751-7 .
↑ Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (saksa) . - Berliini: Springer-Verlag , 1957. Arkistoitu 14. toukokuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ V. M. Tikhomirov, V. V. Uspensky . Ensimmäiset Fields-palkinnon saajat ja Neuvostoliiton matematiikka 1930-luvulla. I. - Matematiikka. valaistuminen, ser. 3, 2, MTsNMO, M., 1998, 21-40.

Kirjallisuus

Zhuk VV, Natanson GI Trigonometrinen Fourier-sarja ja approksimaatioteorian elementit. - L . : Kustantaja Leningrad. un-ta, 1983. - 188 s.
Rudin U. Matemaattisen analyysin perusteet. – 1976.
Piskunov N. S. Differentiaali- ja integraalilaskenta VTUZ:ille. - M . : "Nauka", 1964. - T. 2.
Sigmund A. Trigonometrinen sarja. - M . : "Mir", 1965. - T. 1.
Hardy G. Kh. , Rogozinsky V. V. Fourier-sarja. - M .: Fizmatgiz , 1959.

Linkit

Jaksottaisten signaalien esitys. Fourier-sarja . (määrätön)
Joitakin Fourier-sarjan jaksollisten signaalien laajenemisen ominaisuuksia . (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX540313 BNF : 11979488t J9U : 987007548250805171 LCCN : sh85051090 NDL : 00562088 NKC : ph135377

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi