Monimutkainen amplitudi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. syyskuuta 2015 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Kompleksi amplitudi (osoitin) on kompleksiarvo , jonka moduuli ja argumentti ovat vastaavasti yhtä suuria kuin harmonisen signaalin amplitudi ja alkuvaihe .

Määritelmä

Olkoon harmoninen signaali:

$a(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \oikea)$

On algebrallisesti hankalaa suorittaa tällaisia aritmeettisia operaatioita sellaiseen muotoon kirjoitetuille signaaleille, kuten kahden signaalin lisääminen, toisen signaalin vähentäminen yhdestä signaalista. Näiden toimintojen helpottamiseksi harmoniset signaalit esitetään kompleksilukuna, jonka moduuli on yhtä suuri kuin signaalin amplitudi, ja argumentti on signaalin vaihe. Tässä tapauksessa alkuperäinen signaali a(t) on yhtä suuri kuin annetun kompleksiluvun b(t) reaaliosa:

$a(t) = \Re(b(t))$ ,

missä $b(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t}$

tässä harmonisen signaalin kompleksinen amplitudi on seuraava lauseke:

${\hat A}=Ae^{{i\phi ))$

Fyysinen merkitys

Algebrallinen muoto

Jos tarkastellaan kompleksista amplitudia kompleksilukuna algebrallisessa muodossa, niin reaaliosa vastaa kosinikomponentin (saman vaiheen) amplitudia ja imaginaariosa vastaa alkuperäisen sini(kvadratuuri)komponentin amplitudia. signaali. Joten signaalille (1) meillä on: $a(t)=\Re ({\hat A})\cos(\omega t)-\Im ({\hat A})\sin(\omega t)$

missä $\Re ({\hat A})=A\cos(\phi ),\quad \Im ({\hat A})=A\sin(\phi )$

Trigonometrinen muoto

Jos tarkastellaan kompleksista amplitudia kompleksilukuna trigonometrisessa muodossa, niin moduuli vastaa alkuperäisen harmonisen signaalin amplitudia ja argumentti vastaa alkuperäisen harmonisen signaalin vaihesiirtoa suhteessa signaaliin . $\cos {(\omega t)}$

Operaatiot kompleksisella amplitudilla

Lineaarisia operaatioita voidaan soveltaa signaaleihin kompleksisten amplitudien avaruudessa. Toisin sanoen seuraavat toiminnot monimutkaisilla amplitudeilla:

kompleksin amplitudin kertominen vakiolla
kompleksisten amplitudien lisääminen (vastaten samaa taajuutta)
kompleksisten amplitudien vähentäminen (vastaten samaa taajuutta)
kompleksisen amplitudin integrointi ajan kuluessa
kompleksisen amplitudin erilaistuminen ajan suhteen

johtaa samaan tulokseen kuin jos ne olisi tehty vastaaville harmonisille signaaleille, ja sitten kompleksiamplitudi otetaan niistä.

Rajoitukset

Vaikka kompleksisen amplitudin lauseke ei sisällä harmonisen signaalin taajuutta ω, on muistettava, että kompleksinen amplitudi kuvaa tietyn taajuuden harmonista signaalia . Siksi monimutkaisten amplitudien avaruudessa ei voida hyväksyä operaatioita, jotka:

Otetaan operandeiksi kompleksisia amplitudeja, jotka kuvaavat eri taajuuksilla olevia harmonisia signaaleja.
muuttaa harmonisen signaalin taajuutta tai luoda uusia taajuuksia (kaikki epälineaariset operaatiot, kuten kahden signaalin kertominen ).

Sovellus

Kompleksinen amplitudi on täydellinen ja erittäin kätevä tapa kuvata harmonisia signaaleja, koska:

Ominaistaa sekä amplitudin että vaiheen
Ei sisällä aikariippuvuutta
Mahdollistaa vektorikaavioiden käytön vaihtovirtapiirien analysoinnissa

Monimutkaisten amplitudien ja impedanssien käyttö mahdollistaa harmonisen signaalin kulkemisen ongelman lineaarisen piirin läpi (kuvattu differentiaaliyhtälöjärjestelmällä ) yksinkertaisemmaksi ongelmaksi, joka vastaa tasavirtavastusten piirin analysointia ( kuvataan algebrallinen yhtälöjärjestelmä ) .