Teoria (logiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. helmikuuta 2017 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Logiikassa teoria on joukko kaavoja tietyllä kielellä .

Pääsääntöisesti kiinnostavat vain teoriat, jotka sisältävät tietyn vähimmäisjoukon kaavoja ( aksioomia ) ja ovat suljettuja joidenkin kielikohtaisten päättelysääntöjen suhteen.

Termiä teoria käytetään useimmiten ensimmäisen asteen logiikan yhteydessä , vaikka sitä käytetään myös ei-klassiseen logiikkaan . Modaalilogiikan yhteydessä termejä modaalinen logiikka ja normaali modaalilogiikka käytetään samanlaiselle käsitteelle (katso artikkeli modaalilogiikka ).

Ensimmäisen kertaluvun logiikan teoriat koostuvat suljetuista kaavoista.

Malliteorian näkökulmasta teoria on puhtaasti semanttinen objekti, se on jokin mallin invariantti tai mallien luokka. Toisaalta aksiomatisointi on kompakti esitys teoriasta, jossa käytetään erilaisia syntaktisia mekanismeja, kuten aksioomia ja päättelysääntöjä.

Teoriaan kuuluvia kaavoja kutsutaan sen teoreemiksi .

Täydellisyys

Teoriaa kutsutaan johdonmukaiseksi , jos se ei ole sama kuin kaikkien kaavojen joukko.

Teoriaa kutsutaan täydelliseksi , jos jollekin kaavalle joko , tai . $T$ $\varphi$ $\varphi \in T$ $\neg \varphi \in T$

Jokainen tietyn allekirjoituksen ensimmäisen asteen malli luo luonnollisesti täydellisen teorian: $S$

$Th({\mathfrak {M}})=\{\varphi \in L(S)\mid {\mathfrak {M}}\models \varphi \}$

(jossa tarkoittaa ensimmäisen asteen allekirjoituskieltä ). $L(S)$ $S$

Ratkaisevuus

Teoriaa kutsutaan ratkaistavaksi , jos ongelma sen määrittämiseksi, kuuluuko tietty kaava tähän teoriaan, on algoritmisesti päätettävissä.

Vastaava määritelmä: Teorian sanotaan olevan päätettävissä, jos teorian kaavojen Gödel-lukujen joukko on rekursiivinen .

Katso myös

Luettelo ensimmäisen asteen teorioista
Luettelo normaaleista modaalilogiikoista
Godelin epätäydellisyyslause