Optimaalinen ohjaus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21.9.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Optimaalinen ohjaus

Optimaalinen ohjaus on tehtävä suunnitella järjestelmä, joka tarjoaa tietyn ohjausobjektin tai prosessin ohjauslaki tai ohjaustoimintosarja, joka tarjoaa suurimman tai minimin tietyn järjestelmän laatukriteerien joukosta [1] .

Määritelmä

Optimaalinen ohjausongelma sisältää optimaalisen ohjausohjelman laskennan ja optimaalisen ohjausjärjestelmän synteesin. Optimaaliset ohjausohjelmat lasketaan pääsääntöisesti numeerisin menetelmin funktionaalin ääripään löytämiseksi tai differentiaaliyhtälöjärjestelmän raja-arvotehtävän ratkaisemiseksi [2] . Matemaattiselta kannalta optimaalisten ohjausjärjestelmien synteesi on epälineaarinen ohjelmointiongelma toiminnallisissa tiloissa [3] .

Optimaalisen ohjausohjelman määrittämisongelman ratkaisemiseksi konstruoidaan ohjatusta objektista tai prosessista matemaattinen malli , joka kuvaa sen käyttäytymistä ajan kuluessa ohjaustoimintojen ja sen oman nykyisen tilan vaikutuksesta [4] .

Jos ohjattavan kohteen tai prosessin matemaattista mallia ei tiedetä etukäteen, niin sen määrittämiseksi on suoritettava ohjatun kohteen tai prosessin tunnistamismenettely [5]

Optimaalisen säätöongelman matemaattinen malli sisältää: ohjaustavoitteen muotoilun, joka ilmaistaan ohjauksen laatukriteerin kautta; differentiaali- tai differentiaaliyhtälöiden määrittely [6] , jotka kuvaavat ohjausobjektin mahdollisia liiketapoja ; käytettävien resurssien rajoitusten määrittely yhtälöiden tai epäyhtälöiden muodossa [7] .

Kaikki optimaaliset ohjaustehtävät voidaan pitää matemaattisina ohjelmointitehtävinä ja ne voidaan ratkaista tässä muodossa numeerisilla menetelmillä. [8] [9]

Hierarkkisten monitasoisten järjestelmien optimaalisessa hallinnassa käytetään esimerkiksi suuria kemianteollisuutta, metallurgisia ja energiakomplekseja, optimaalisen ohjauksen monikäyttöisiä ja monitasoisia hierarkkisia järjestelmiä. Matemaattinen malli esittelee kriteerit johtamisen laadulle kullekin johtamistasolle ja koko järjestelmälle kokonaisuudessaan sekä toimien koordinoinnista johtamistasojen välillä [10] [11] .

Jos ohjattu objekti tai prosessi on deterministinen, sen kuvaamiseen käytetään differentiaaliyhtälöitä. Yleisimmin käytetyt tavalliset differentiaaliyhtälöt ovat muotoa . Monimutkaisemmissa matemaattisissa malleissa (järjestelmille, joissa on hajautetut parametrit) objektin kuvaamiseen käytetään osittaisia differentiaaliyhtälöitä . Jos ohjattu objekti on stokastinen, sen kuvaamiseen käytetään stokastisia differentiaaliyhtälöitä . ${\piste {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$

Differentiaalipelien teoriaa käytetään ratkaisemaan optimaalisia ohjausongelmia konfliktien tai epävarmuuden olosuhteissa . [12]

Jos annetun optimaalisen ohjauksen ongelman ratkaisu ei ole jatkuvasti riippuvainen lähtötiedoista ( huonosti esitetty ongelma ), niin ongelma ratkaistaan erityisillä numeerisilla menetelmillä. [13]

Optimaalisen säätöongelmien ratkaisemiseksi epätäydellisillä alkutiedoilla ja mittausvirheiden esiintyessä käytetään maksimitodennäköisyyden menetelmää [14] .

Optimaalista ohjausjärjestelmää, joka pystyy keräämään kokemusta ja parantamaan toimintaansa tämän perusteella, kutsutaan oppivaksi optimaaliseksi ohjausjärjestelmäksi [15] .

Objektin tai järjestelmän todellinen käyttäytyminen poikkeaa aina ohjelmasta johtuen alkuolosuhteiden epätarkkuuksista, epätäydellisistä tiedoista kohteeseen vaikuttavista ulkoisista häiriöistä, ohjelman ohjauksen toteutuksen epätarkkuuksista jne. Siksi objektin poikkeaman minimoimiseksi optimaalisesta käyttäytymisestä, käytetään yleensä automaattista ohjausjärjestelmää . [16]

Joskus (esimerkiksi hallittaessa monimutkaisia esineitä, kuten metallurgian masuunia tai analysoitaessa taloudellista tietoa) optimaalista säätöongelmaa asetettaessa ohjattavan kohteen lähtötiedot ja tiedot sisältävät epävarmaa tai sumeaa tietoa, jota ei voida käsitellä perinteisellä menetelmällä. määrälliset menetelmät. Tällaisissa tapauksissa voidaan käyttää optimaalisia ohjausalgoritmeja, jotka perustuvat sumeiden joukkojen matemaattiseen teoriaan ( fuzzy control ). Käytetyt käsitteet ja tieto muunnetaan sumeaan muotoon, määritetään sumeat säännöt päätösten päättelemiseksi ja sitten suoritetaan sumeiden päätösten käänteinen muunnos fyysisiksi ohjausmuuttujiksi. [17] [11]

Taloudellisten prosessien optimaaliseen hallintaan käytetään taloudellisen kybernetiikan menetelmiä , peliteoriaa , graafiteoriaa [18]

Determinististen järjestelmien optimaalinen ohjaus

Pakatut järjestelmät

Yleisimmin ohjausjärjestelmien suunnittelussa deterministisille objekteille, joiden parametrit on niputettu tavallisilla differentiaaliyhtälöillä, käytetään seuraavia menetelmiä: variaatiolaskenta , Pontryaginin maksimiperiaate ja Bellmanin dynaaminen ohjelmointi [1] .

Optimaalinen ohjausongelma

Muotoilemme optimaalisen ohjausongelman:

Tilayhtälöt: (1). ${\piste {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$
Rajaehdot , (2). $x(t_{0})=x_{{0}}^{{*}}$ $x(t_{1})=x_{{1}}^{{*}}$
Minimoitu toiminta: . $\eta =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}F[x(\tau ),{\piste {x}}(\tau ),\tau ]d\tau,$

tässä — tilavektori — ohjaus, — ajan alku- ja loppuhetket. $x(t)$ $u(t)$ $t_{{0}},t_{{1}}$

Optimaalinen ohjausongelma on löytää ajan tila ja ohjausfunktiot , jotka minimoivat funktion. $x(t)$ $u(t)$ $({t_{0}}\leq {t}\leq {t_{1}})$

Variaatiolaskelma

Tarkastellaan tätä optimaalista säätöongelmaa variaatiolaskelman Lagrangen ongelmana [19] . Löytääksemme ääripäälle tarvittavat ehdot, käytämme Euler-Lagrange-lausetta [19] . Lagrange-funktion muoto on: , missä ovat reunaehdot. Lagrangian muoto on: , jossa , , ovat Lagrangen kertoimien n-ulotteisia vektoreita . $\lambda$ $\Lambda =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}(F[x(t),{\piste {x}}(t),t]+\lambda _{1 }^{T}(t)({\piste {x}}(t)-a[x(t),u(t),t]))dt+l$ $l=\lambda _{2}^{T}(x(t_{0})-x_{{0}}^{{*}})+\lambda _{3}^{T}(x(t_{ 1})-x_{{1}}^{{*}})$ $L$ $L[x(t),{\piste {x}}(t),u(t),\lambda (t),t]=F[x(t),{\piste {x}}(t), t]+\lambda _{1}^{T}(t)({\piste {x}}(t)-a[x(t),u(t),t])$ $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ $\lambda _{3}$

Ekstreemin välttämättömät ehdot tämän lauseen mukaan ovat:

stationaarisuus u:ssa: , (3) ${\hat {L}}_{{u}}=0$
stationaarisuus x:ssä, Eulerin yhtälö: (4) ${\hat {L}}_{x}-{\frac {d}{dt}}{\hat {L}}_{\piste {x}}=0$
poikkisuuntaisuus x:ssä: , (5) ${\displaystyle {\hat {L}}_{\piste {x}}(t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0}})))$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{\piste {x}}(t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1}})))$

Tarvittavat ehdot (3-5) muodostavat perustan optimaalisten lentoratojen määrittämiselle. Kun nämä yhtälöt on kirjoitettu, saadaan kahden pisteen rajatehtävä, jossa osa reunaehdoista asetetaan alkuhetkellä ja loput viimeisellä hetkellä. Tällaisten ongelmien ratkaisumenetelmiä käsitellään yksityiskohtaisesti kirjassa [20]

Pontrjaginin maksimiperiaate

Periaatteessa tarve Pontryagin-maksimille syntyy, kun missään ohjausmuuttujan sallitulla alueella ei ole mahdollista täyttää välttämätön ehto (3), nimittäin . ${\hat {L}}_{{u}}=0$

Tässä tapauksessa ehto (3) korvataan ehdolla (6):

{\begin{align}\min _{{u\in U}}L(t,x(t),{\piste {x}}(t),u)&=L(t,{\hat {x }}(t),{\piste {x}}(t),{\hattu {u}})\Pitkävasenoikeanuoli \\&\Pitkävasenoikeanuoli \min _{{u\in U}}\left(F(t, x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)\oikea)=f(t)-\lambda (t)a(t).\end{tasattu}}

(6)

Tässä tapauksessa Pontryaginin maksimiperiaatteen mukaan optimaalisen ohjauksen arvo on yhtä suuri kuin säätimen arvo sallitun alueen toisessa päässä. Pontryagin-yhtälöt on kirjoitettu käyttämällä Hamilton-funktiota , joka määritellään relaatiolla . Yhtälöistä seuraa, että Hamilton-funktio liittyy Lagrange-funktioon seuraavasti: . Kun viimeinen yhtälö korvataan yhtälöillä (3–5), saadaan tarvittavat ehdot ilmaistuna Hamiltonin funktiona: $H$ $H=F(t,x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)$ $H$ $L$ $L=H+\lambda (t){\piste {x}}(t)$ $L$

ohjausyhtälö u:lle: , (7) ${\hat {H}}_{{u}}=0$
tilayhtälö: , (8) ${\piste {x}}=-{\hattu {H}}_{{\lambda }}$
adjointyhtälö: , (9) ${\dot {\lambda }}=-{\hat {H}}_{x}$
poikkisuuntaisuus x:ssä: , (10) $\lambda (t_{0})={\hattu {l}}_{x(t_{0}})}$ ${\displaystyle \lambda (t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1}})))$

Tähän muotoon kirjoitettuja välttämättömiä ehtoja kutsutaan Pontryaginin yhtälöiksi. Pontryaginin maksimiperiaatetta analysoidaan yksityiskohtaisemmin kirjassa [19] .

Esimerkki

Vaaditaan toiminnallisuuden minimoimisen ongelman ratkaisemista:

\int _{0}^{1}(u^{2}-4x)dt

, missä , , .

{\frac {dx}{dt}}=u

0\leqslant u\leqslant 1

x(0)=0

Hamilton-funktiolla on tässä tapauksessa muoto:

H=\lambda uu^{2}+4x

Ehdoista 9) ja 10) huomaamme, että:

\lambda =4-4t

, .

t\in [0,1]

Saamme:

H=(4-4t)uu^{2}+4x

Tämän funktion maksimi suhteessa , , saavutetaan kohdassa , jossa $u$ $0<u<1$ $u=u^{*}(t)$

u^{*}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2t, &{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Ehdolla ,. Keinot: ${\frac {dx^{*}(t)}{dt))=u^{*}(t)$

x^{*}(t)={\begin{cases}t+c_{1},&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\ \2t-t^{2}-c_{2},&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

alkaen , saamme . Pisteessä olevasta jatkuvuusehdosta löydämme vakion . $x^{*}(0)=0$ $c_{1}=0$ $x^{*}(t)$ $t={\frac {1}{2}}$ $c_{2}=-{\frac {1}{4))$

Tällä tavalla:

x^{*}(t)={\begin{cases}t,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2t-t^ {2}-{\frac {1}{4)),&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Voidaan varmistaa, että löydetty ja muodostavat optimaalisen ratkaisun tähän ongelmaan [21] $x^{*}(t)$ $u^{*}(t)$

Tarvittaessa

Maksimiperiaate on erityisen tärkeä ohjausjärjestelmissä, joissa on maksiminopeus ja pienin energiankulutus, joissa käytetään reletyyppisiä ohjauksia, jotka ottavat äärimmäisiä arvoja väliarvojen sijaan sallitulla ohjausvälillä.

Historia

Optimaalisen ohjauksen teorian kehittämisestä L. S. Pontryagin ja hänen työtoverinsa V. G. Boltjanski , R. V. Gamkrelidze ja E. F. Mištšenko saivat Lenin - palkinnon vuonna 1962 .

Dynaaminen ohjelmointimenetelmä

Dynaaminen ohjelmointimenetelmä perustuu Bellmanin optimaalisuusperiaatteeseen, joka on muotoiltu seuraavasti: optimaalisella ohjausstrategialla on se ominaisuus, että olipa prosessin alussa mikä tahansa alkutila ja ohjaus, seuraavien ohjausten tulee muodostaa optimaalinen ohjausstrategia suhteessa prosessin alkuvaiheen jälkeen saatu tila [22] . Dynaaminen ohjelmointimenetelmä on kuvattu tarkemmin kirjassa [23]

Riittävät optimiolosuhteet

V. F. Krotov saavutti vuonna 1962 riittävät olosuhteet ohjattujen prosessien optimisuudelle , ja niiden pohjalta rakennettiin iteratiivisia laskennallisia menetelmiä peräkkäiseen parantamiseen, mikä mahdollisti globaalin optimin löytämisen ohjausongelmissa [24] [25] [26] .

Optimaalinen järjestelmien ohjaus hajautetuilla parametreilla

Tällaisten kohteiden optimaalisen ohjauksen tehtävissä, kuten jatkuvatoiminen lämmitysuuni, lämmönvaihdin , päällystyslaitteisto, kuivausyksikkö, kemiallinen reaktori , seoksen erotuslaitos, masuuni tai avouuni , koksiuunin akku, valssaus mylly , induktiokuumennusuuni jne. ohjattua prosessia kuvataan osittaisdifferentiaaliyhtälöillä, integraaliyhtälöillä ja integro-differentiaaliyhtälöillä.

Optimaalisen ohjauksen teoria tässä tapauksessa on kehitetty vain tietyntyyppisille yhtälöille: elliptisille, parabolisille ja hyperbolisille tyypeille.

Joissakin yksinkertaisissa tapauksissa on mahdollista saada analogi Pontryaginin maksimiperiaatteesta. [27] [28]

Jos yhtälöjärjestelmien ratkaisuissa on epästabiilisuuksia, epäjatkuvuuspisteitä, bifurkaatiopisteitä, useita ratkaisuja, niin niiden saamiseksi käytetään useita erikoismenetelmiä [29] .

Optimaalinen ohjausongelma

Hallittu prosessi kattaa $0\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant b$
Ohjattua prosessia kuvaavat yhtälöt: , jossa — on ohjattua prosessia kuvaava ulottuvuusvektori, — on vektorin derivaattojen dimensiovektori suhteessa koordinaattiin , — on vektorin derivaattojen ulottuvuusvektori suhteessa koordinaatti , — on mittaohjausvektori. ${\frac {\partial ^{{2}}Q_{{i}}}{\partial x\partial y}}=f_{i}(x,y,Q,{\frac {\partial Q}{\ osittainen x)),{\frac {\partial Q}{\partial y)),u);(1)$ $K$ $n$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $n$ $K$ $x$ ${\frac {\partial Q}{\partial y))$ $n$ $K$ $y$ $u$ $r$
Hallitun prosessin rajaehdot: $Q_{{i}}(0,y)=\phi _{{i}}(y);Q_{{i}}(x,0)=\psi _{{i}}(x);i= 1,...,n;(2)$
Optimaalisen ohjauksen tehtävänä on löytää sellainen ohjaus , jolle yhtälöiden sallima ratkaisu johtaa funktionaalin maksimiin . $u(x,y)$ $(1), (2)$ $Q(x,y)$ $J=\summa _{{i=1}}^{{n}}c_{{i}}Q_{{i}}(a,b)$

Maksimiperiaate järjestelmille, joissa on hajautetut parametrit

Maksimiperiaatteen muodostamiseksi hajautetuilla parametreilla varustetuille järjestelmille otetaan käyttöön Hamilton-funktio: , jossa apufunktioiden on täytettävä yhtälöt ja reunaehdot , for , . $H(N,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)=\sum _{{i=1}}^{{n}}N_{{ i}}f_{{i}}(x,y,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)$ $N_{{1}}(x,y),...,N_{{n}}(x,y)$ ${\frac {dN_{i}}{dxdy}}={\frac {dH}{dQ_{i}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {dH}{dQ_{ ix}}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {dH}{dQ_{iy}}}(2)$ ${\frac {dN_{{i}}}{dx}}=-{\frac {dH}{dQ_{{iy}}}}$ $y=b(3)$ ${\frac {dN_{{i}}}{dy}}=-{\frac {dH}{dQ_{{ix}}}}$ $x=a(4)$ $N_{{i}}(a,b)=-c_{{i}}(5)$

Jos on optimaalinen ohjaus ja optimaalisella ohjauksella saadut funktiot täyttävät yhtälöt , niin argumentin funktiona pidetty funktio saavuttaa maksimin alueella , eli lähes kaikissa pisteissä yhtäläisyys $u^{{0}}(x,y)$ $Q^{{0}}(x,y),N^{{0}}(x,y)$ $(1), (2), (3), (4), (5)$ $H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}}, {\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)$ $u$ $\omega$ $u=u^{{0}}(x,y)$ $(x,y)\in D$ $\max _{{u\in \omega }}H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0} }(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)=H(N^{{0}}(x,y) ),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x ,y)}{dy}},u)$

Jos järjestelmä on muodon lineaarinen järjestelmä , niin lause $(yksi)$ ${\frac {d^{{2}}Q_{{i}}}{dxdy}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}{\Bigl [}m_{{ik}} (x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dx}}+p_{{ik}}(x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dy}}+q_{ {ik}}(x,y)Q_{{k}}{\Bigr ]}+f_{{i}}(u)$

Optimaaliseen ohjaukseen lineaarisessa tapauksessa on välttämätöntä ja riittävää, että maksimiperiaate täyttyy. $u(x,y)$

Katso näiden kahden lauseen todistus kirjasta [28] .

Lineaaristen stokastisten järjestelmien optimaalinen ohjaus

Tässä tapauksessa ohjattu kohde tai prosessi kuvataan lineaarisilla stokastisilla differentiaaliyhtälöillä . Tässä tapauksessa optimaalisen säätöongelman ratkaisu suoritetaan Riccatin yhtälön [30] perusteella .

Optimaalinen ohjausongelma

Järjestelmää kuvataan lineaarisilla stokastisilla differentiaaliyhtälöillä , jossa on -ulotteinen tilavektori, on -ulotteinen ohjausvektori, on -ulotteinen vektori havaittuista muuttujista, ovat itsenäisiä Wiener-prosesseja, joilla on nolla keskiarvoa ja annetut inkrementikovarianssit . matriiseja. $dx=Axdt+Budt+dv,dy=Cxdt+de$ $x$ $n$ $u$ $s$ $y$ $v$ $v(t),e(t)$ $A, B, C$
On tarpeen löytää optimaalinen ohjaus, joka minimoi häviöfunktion matemaattisen odotuksen . $x^{T}(t_{1})Q_{0}x(t_{1})+\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}[x^{T}( t)Q_{1}x(t)+u^{T}Q_{2}u(t)]dt]$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Samoylenko V.I., Puzyrev V.A., Grubrin I.V. "Tekninen kybernetiikka", oppikirja. korvaus, M., MAI- kustantamo , 1994, 280 s. ill., ISBN 5-7035-0489-9 , ch. 4 "Dynaamisten kohteiden ja prosessien optimaaliset ohjausjärjestelmät", s. 63-113;
↑ Moiseev, 1975 , s. 114.
↑ Moiseev, 1975 , s. 316.
↑ Rastrigin L. A. Tämä satunnainen, satunnainen, satunnainen maailma. - M., nuori vartija, 1969. - S. 47 - 50
↑ Rastrigin L. A. , Madzharov N. E. Johdatus ohjausobjektien tunnistamiseen. - M . : Energia, 1977. - 216 s.
↑ Moiseev, 1975 , s. 79-89.
↑ Korshunov Yu. M. "Kybernetiikan matemaattiset perusteet", oppikirja. Yliopistokorvaus, 2. painos, tarkistettu. ja add., M., "Energy", 1980, 424 s., ill., BBK 32.81 6F0.1, ch. 5 "Optimaalisten ohjausongelmien rakenne ja matemaattinen kuvaus", s. 202;
↑ Tupakka, 1975 , s. kahdeksantoista.
↑ Moiseev, 1975 , s. 304-368.
↑ Mesarovich M., Mako D., Tkahara I. Hierarkkisten monitasojärjestelmien teoria - M., Mir, 1973. - s. 344
↑ 1 2 Moiseev, 1975 , s. 465-520.
↑ Krasovsky N. N., Subbotin A. I. Positiaaliset eropelit . - M., Nauka, 1974. - s. 24
↑ Vasiliev F. P. Menetelmiä äärimmäisten ongelmien ratkaisemiseksi. — M.: Nauka, 1981. — S. 159.
↑ Moiseev, 1975 , s. 351-368.
↑ Tsypkin Ya. Z. Oppimisjärjestelmien teorian perusteet. - M .: Nauka, 1970. - S. 252.
↑ Aleksandrov A. G. Optimaaliset ja mukautuvat järjestelmät. - M .: Korkeakoulu, 1989. - 263 s. ISBN 5-06-000037-0
↑ Robustin, hermosumean ja mukautuvan ohjauksen menetelmät: Oppikirja / Ed. N. D. Egupova, toim. 2nd, ster., M., Bauman Moscow State Technical University, 2002, 744 s., ISBN 5-7038-2030-8 , circ. 2000 kopiota, osa 2 "Fuzzy control"
↑ Teplov L. Mitä laskea: Suosittuja esseitä talouden kybernetiikasta. - M., Moskovan työntekijä, 1970. - 317 s.
↑ 1 2 3 E. M. Galeev, V. M. Tikhomirov "Optimointi: teoria, esimerkit, tehtävät", M., Editorial URSS, 2000, 320 s., ISBN 5-8360-0041-7 , ch. 3 "Variaatioiden laskeminen", s. 6 "Lagrangen ongelma", s. 173-181;
↑ "Numeeriset menetelmät optimaalisten järjestelmien teoriassa", Moiseev N. N. , "Nauka", 1971, 424 sivua kuvineen, ch. 2 "Numeeriset menetelmät optimaalisten ohjelmien laskemiseksi käyttämällä ääripään tarvittavia ehtoja", s. 80 - 155;
↑ Barbaumov V. E., Ermakov V. I., Kriventsova N. N. Matematiikan käsikirja taloustieteilijöille. - M., Higher School, 1987. - s. 243
↑ Bellmann R. "Dynamic Programming", IL, M., 1960;
↑ "Numeeriset menetelmät optimaalisten järjestelmien teoriassa", Moiseev N. N. , "Nauka", 1971, 424 sivua kuvineen, ch. 3 "Optimaalisäätöteorian suorat menetelmät", s. 156-265;
↑ Voronov A. A. Automaattisen ohjauksen teoria. T. 1. - M .: Higher School, 1986, s. 294-304.
↑ Vasiliev F. P. Numeeriset menetelmät äärimmäisten ongelmien ratkaisemiseksi. - M.: Nauka, 1988, s. 522-530.
↑ Krotov V. F. Menetelmiä variaatioongelmien ratkaisemiseksi, jotka perustuvat riittäviin ehtoihin absoluuttiselle minimille. I—IV // Automaatio ja telemekaniikka, 1962, osa 23, nro 12, s. 1571—1583; 1963, osa 24, nro 5, s. 581-598; 1963, osa 24, nro 7, s. 826-843; 1965, osa 26, nro 1, s. 24-41.
↑ J.-L. Lionit Osittaisten differentiaaliyhtälöiden kuvattujen järjestelmien optimaalinen ohjaus, Moskova, Mir, 1972, 412 s.
↑ 1 2 Butkovsky A. G. Teoria hajautettujen parametrien järjestelmien optimaalisesta ohjauksesta, M., Nauka, 1965
↑ J.-L. Singulaaristen hajautettujen järjestelmien Lions Control, Moskova, Mir, 1987, 367 s.
↑ K. Yu. Ostrem Johdatus stokastiseen säätöteoriaan, M., Mir, 1973

Kirjallisuus

Rastrigin L. A. Monimutkaisten objektien hallinnan nykyaikaiset periaatteet. — M.: Sov. radio, 1980. - 232 s., BBC 32.815, ampumarata. 12000 kappaletta
Alekseev V. M., Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. Optimaalinen ohjaus. - M .: Nauka, 1979, UDC 519.6, - 223 s., ampumarata. 24000 kappaletta
Volgin LN Optimaalinen diskreetti dynaamisten järjestelmien ohjaus. - M .: Nauka, 1986. - 240 s.
Tabak D., Kuo B. Optimaalinen ohjaus ja matemaattinen ohjelmointi. - M .: Nauka, 1975. - 279 s.
Moiseev NN Optimaalisten järjestelmien teorian elementit. - M .: Nauka, 1975. - 526 s.
Galeev E. M. , Tikhomirov V. M. Lyhyt kurssi ääriongelmien teoriasta. - M .: MGU, 1989. - 204 s. - ISBN 5-211-00313-6 .
Krotov VF, Gurman VI Optimaalisen ohjauksen menetelmät ja ongelmat. - M .: Nauka, 1973.
Pontryagin L. S., Boltyansky V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Optimaalisten prosessien matemaattinen teoria. - M .: Nauka, 1976.
Boltyansky VG Optimaalinen erillisten järjestelmien ohjaus. - M .: Nauka, 1973.
Butkovskiy AG Teoria hajautettujen parametrien järjestelmien optimaalisesta ohjauksesta. - M .: Nauka, 1965.
Butkovsky A.G. Ohjausmenetelmät järjestelmille, joissa on hajautetut parametrit. - M .: Nauka, 1975.
Budak BM, Vasiliev FP Likimääräiset menetelmät optimaalisten ohjausongelmien ratkaisemiseksi. - M .: MGU, 1969.
Oleinikov V. A., Zotov N. S., Prishvin A. M. Optimaalisen ja äärimmäisen hallinnan perusteet. - M . : Korkeakoulu, 1969. - 296 s.
Degtyarev GL, Sirazetdinov TK Elastisten avaruusajoneuvojen optimaalisen ohjauksen teoreettiset perusteet. - M . : Mashinostroenie, 1986. - 216 s.
Lerner A. Ya. , Rozenman E. A. Optimaalinen ohjaus. - M . : Energia, 1970. - 360 s.
Gurman V. I. , Tikhomirov V. N., Kirillova F. M. Optimaalinen ohjaus. - M . : Tieto, 1978. - 144 s.
Boltyansky VG Optimaalisen ohjauksen matemaattiset menetelmät. - M .: Nauka, 1969. - 408 s.
Young L. Luentoja variaatiolaskelmasta ja optimaalisen ohjauksen teoriasta. - M .: Mir, 1974. - 488 s.
Makarov I. M. , Lokhin V. M. Manko S. V. Tekoäly ja älykkäät ohjausjärjestelmät. — M .: Nauka , 2006. — 333 s. - 1000 kappaletta. — ISBN 5-02-033782-X .
Donchev A. Optimaalisen ohjauksen järjestelmät. Häiriöt, approksimaatiot ja herkkyysanalyysi. - M .: Mir, 1987. - 156 s. - 6700 kappaletta.
V. A. Ivanov, A. S. Juštšenko. Diskreettien automaattisten ohjausjärjestelmien teoria . - M .: N. E. Baumanin nimetty Moskovan valtion teknillinen yliopisto , 2015. - 352 s. — ISBN 978-5-7038-4178-5 .
Kuzin L. T. Kybernetiikan perusteet. - M . : Energia, 1973. - 504 s. – 30 000 kappaletta.
Fursikov A. V. Hajautettujen järjestelmien optimaalinen ohjaus. Teoria ja sovellukset. - Novosibirsk: Nauchnaya kniga, 1999. - 352 s. - 1000 kappaletta. - ISBN 5-88119-017-3 .
Lionit JL Yksittäisten hajautettujen järjestelmien hallinta. - Moskova: Nauka, 1987. - 368 s. - 3600 kappaletta.
Khazen EM Optimaaliset tilastolliset ratkaisut ja optimaaliset ohjausongelmat. - Moskova: Neuvostoliiton radio, 1968. - 256 s. – 12 000 kappaletta.
Leitman J. Johdatus optimaalisen ohjauksen teoriaan. - Moskova: Nauka, 1968. - 190 s. - 14 000 kappaletta.
Saridis J. Itseorganisoituvat stokastiset ohjausjärjestelmät. - Moskova: Nauka, 1980. - 400 s. - 4000 kappaletta.
A. A. AGRACHEV ja Yu. L. Sachkov Geometrinen ohjausteoria . - Moskova: FIZMATLIT, 2004. - 391 s. — ISBN 5-9221-0532-9 .

Linkit

Gamkrelidze R. V. . Pontryaginin maksimiperiaatteen löytäminen

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph123771