Oikein annettu tehtävä

Oikein esitetty matematiikan ongelma on sovellettu  ongelma, jonka matemaattinen ratkaisu on olemassa, on ainutlaatuinen ja vakaa [1] . Johdettu Jacques Hadamardin antamasta määritelmästä , jonka mukaan fysikaalisten ilmiöiden matemaattisilla malleilla on oltava seuraavat ominaisuudet:

1. Ratkaisu on olemassa.
2. Ratkaisu on ainutlaatuinen.
3. Ratkaisu riippuu jatkuvasti tiedoista jossain järkevässä topologiassa .

Huonosti esitetty ongelma  on ongelma, jolla ei ole mitään hyvin asetetun ongelman ominaisuuksia.

Esimerkkejä tyypillisistä hyvin esitetyistä ongelmista ovat Dirichlet -tehtävä Laplacen yhtälölle ja diffuusioyhtälö annetuilla alkuehdoilla . Niitä voidaan pitää "luonnollisina" ongelmina siinä mielessä, että on olemassa fyysisiä prosesseja, joita kuvataan näiden ongelmien ratkaisuilla. Toisaalta diffuusioyhtälön käänteinen ongelma - aikaisemman lämpötilajakauman löytäminen lopullisista tiedoista - ei ole hyvin asetettu, koska sen ratkaisu on erittäin herkkä lopullisten tietojen muutoksille.

Käänteiset ongelmat osoittautuvat hyvin usein huonosti asetetuiksi . Tällaiset jatkuvat ongelmat on usein diskretoitava numeerisen ratkaisun saamiseksi. Vaikka funktionaalisen analyysin näkökulmasta tällaiset ongelmat ovat yleensä jatkuvia, ne voivat johtua numeerisen ratkaisun epävakaudesta äärellisellä tarkkuudella laskettaessa tai johtuen tiedoissa olevista virheistä. Huonoja ongelmia voi syntyä geofysikaalisten , geologisten , tähtitieteellisten havaintojen käsittelyssä, optimaalisen ohjauksen ja suunnittelun ongelmien ratkaisemisessa .

Vaikka ongelma on hyvin asetettu, se voi silti olla huonosti ehdollinen , eli pieni virhe lähtötiedoissa voi johtaa paljon suurempiin virheisiin ratkaisuissa. Huonosti ehdollistetut tehtävät eroavat suuresta määrästä ehdollisuutta .

Jos ongelma on esitetty oikein, sen numeerinen ratkaisu on hyvät stabiilin algoritmin avulla . Jos tehtävä on asetettu väärin, sen muotoilua on muutettava; yleensä tätä varten esitetään joitain lisäoletuksia (kuten oletus, että ratkaisu on sileä). Tätä menettelyä kutsutaan regularisoimiseksi , ja Tihonovin regularisointia käytetään laajimmin , sovellettaessa lineaarisia huonosti esitettyjä ongelmia.

Muistiinpanot

1. ↑ Oikeat ja huonosti esitetyt ongelmat / A. N. Tikhonov  // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia  : [30 nidettä]  / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M .  : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.

Kirjallisuus

• Hadamard, Jacques. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique  (ranska) . -Princeton University Bulletin. - 1902. - S. 49-52.
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms  (eng.) / Parker, Sybil B.. - 4th. - New York: McGraw-Hill Education , 1989. - ISBN 0070452709 .
• Tikhonov, A.N.; Arsenin, VY Pahojen ongelmien ratkaisut  (neopr.) . - New York: Winston, 1977. - ISBN 0470991240 .
• Lavrent'ev M. M. , Romanov V. G., Shishatsky S. P. Matemaattisen fysiikan ja analyysin huonoja ongelmia. - M.: Nauka, 1980.
• Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Menetelmiä huonosti esitettyjen ongelmien ratkaisemiseksi. - M.: Nauka, 1974.
• Ivanov VK, Vasin VV, Tanana VP Lineaaristen huonosti esitettyjen ongelmien teoria ja sen sovellukset. - M.: Nauka, 1978.
• Tikhonov A. N. , Leonov A. S., Yagola A. G. Epälineaariset huonosti asetetut ongelmat. — M.: Nauka, 1995. — ISBN 5-02-014582-3 .