Topologisten avaruuksien tulos

Topologisten avaruuksien tulo on topologinen avaruus , joka saadaan joukona alkuperäisten topologisten avaruuksien karteesisen tulon avulla ja jolla on luonnollinen topologia, jota kutsutaan tulotopologiaksi [1] [2] tai Tihonov-topologiaksi . Sanaa "luonnollinen" käytetään tässä luokkateorian merkityksessä ja se tarkoittaa, että tämä topologia täyttää jonkin universaalin ominaisuuden .

Neuvostoliiton matemaatikko Andrei Tikhonov tutki tätä topologiaa ensimmäisen kerran vuonna 1926 .

Määritelmät

Päästää:

\{X_{\alpha }:\alpha \in A\}

on topologisten avaruuksien perhe,

X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }

on heidän karteesinen tuote (sarjoina),

p_{\alpha }:X\to X_{\alpha }

on tuotteen projektio vastaavaan tekijään.

Tihonov-topologia on karkein topologia ( eli topologia, jossa on vähiten avoimia joukkoja ), jonka kaikki projektiot ovat jatkuvia . Tämän topologian avoimet joukot ovat kaikki mahdollisia muodon joukkojen liitoksia , joissa jokainen on avoin osajoukko ja vain rajalliselle määrälle indeksejä. Erityisesti äärellisen avaruuden tulon avoimet joukot ovat yksinkertaisesti alkuperäisten avaruuden avoimien osajoukkojen tulojen liitoksia. $X$ $p_{\alpha }$ $\prod _{i\in I}U_{i}$ $U_{i}$ $X_{i}$ $U_{i}\neq X_{i}$

Myös Tikhonov-topologiaa voidaan kuvata seuraavasti: joukko joukkoja otetaan topologian esipohjaksi . Topologian perusta on kaikki mahdolliset äärelliset joukot kohdasta , ja topologia on kaikki mahdolliset joukkojen liitot kantasta. $X$ ${\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}$ ${\mathfrak {P}}$

Tikhonov-topologia on heikompi kuin ns. "laatikko"-topologia, jolle topologian perustan muodostavat kertoavaruuden avoimien osajoukkojen kaikki mahdolliset tulot. Tällaisella topologialla ei ole yllä mainittua universaalia ominaisuutta ja Tihonovin lause ei pidä paikkaansa sille .

Esimerkkejä

Tavallinen topologia ( metriikan indusoima topologia ) on tuotteen topologia karteesisessa asteessa $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} .$

Cantor-joukko on homeomorfinen diskreetin avaruuden {0,1} kopioiden lukumäärän tulolle , ja irrationaalisten lukujen avaruus on homeomorfinen luonnollisten lukujen (diskreetillä topologialla) laskettavan määrän avaruuksien tulolle.

Ominaisuudet

Topologinen avaruus yhdessä kunkin komponentin projektioiden kanssa voidaan määrittää käyttämällä universaalia ominaisuutta : jos on mielivaltainen topologinen avaruus ja jokaiselle on annettu jatkuva kuvaus, niin on olemassa yksilöllinen kuvaus siten, että jokaiselle seuraava diagrammi on kommutoiva: $X$ $X_{i}$ $Y$ $minä\minässä$ $Y\to X_{i},$ $Y\-X,$ $minä\minässä$

Tämä osoittaa, että Tikhonov-tuote kuuluu topologisten tilojen kategoriaan . Universaalista ominaisuudesta seuraa, että kartoitus on jatkuva silloin ja vain, jos jokainen kartoitus on jatkuva, ja monissa tilanteissa jatkuvuus on helpompi tarkistaa. $f:Y\-X$ $f_{i}=p_{i}\circ f,$ $f_{i}$

Projektit eivät ole vain jatkuvia, vaan myös avoimia kartoituksia (eli jokainen tuotteen avoin joukko menee komponenttiin projisoituna avoimeksi joukoksi). Päinvastoin yleisesti ottaen ei pidä paikkaansa (vastaesimerkki on osajoukko, joka on avoimen ympyrän komplementti). Projektiot eivät myöskään välttämättä ole suljettuja kuvauksia (vastaesimerkkinä on, että suljetun joukon projektioiden kuvat koordinaattiakseleille eivät ole suoran suljettuja osajoukkoja). $p_{i}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\},$

Tuotteen topologiaa kutsutaan joskus pisteittäisen konvergenssin topologiaksi. Syy tähän on seuraava: tuotteen elementtisarja konvergoi silloin ja vain, jos sen kuva konvergoi kullekin komponentille heijastettuna. Esimerkiksi tuotteen topologia reaaliarvoisten funktioiden avaruudessa on topologia, jossa funktiojono konvergoi, kun se konvergoi pisteittäin. $\mathbb {R} ^{I},$ $minä$

Suhde muihin topologisiin käsitteisiin

Erotettavuuden aksioomit :

-tilojen tulolla on ominaisuus . $T_{0}$ $T_{0}$
-tilojen tulolla on ominaisuus . $T_{1}$ $T_{1}$
Hausdorff-tilojen tuote on Hausdorff.
Säännöllisten tilojen tulo on säännöllinen.
Täysin säännöllisten tilojen tulos on täysin säännöllinen.
Normaalitilojen tulo ei aina ole normaali .

Kompakti :

Kompaktien tilojen tulos on kompakti .
Paikallisesti kompaktien tilojen tuote ei aina ole paikallisesti kompaktia. Kuitenkin tuote paikallisesti kompakteista tiloista, joissa kaikki paitsi rajallinen määrä komponentteja on kompakteja, on paikallisesti kompakti.

Liitettävyys :

Yhdistettyjen (vastaavasti polkuun yhdistettyjen) tilojen tulo on yhdistetty (vastaavasti polkuun yhdistetty).
Täysin irrotettujen tilojen tulo on täysin irrotettu.

Tikhonov-tuotteiden kompaktisuus

Tihonovin lause : jos kaikki joukot ovat kompakteja , niin niiden Tihonov-tuote on myös kompakti. $X_{\alpha }$

Väitteen todistamiseksi Alexanderin esikantalauseen mukaan riittää todistamaan, että jokainen esikantaelementtien peitto hyväksyy äärellisen alikannen. Jokaiselle , anna olla kaikkien joukkojen liitto, joiden kanteen joukko sisältyy. Sitten tilan X peittämätön osa ilmaistaan kaavalla: ${\mathfrak {P}}$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $U\in X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }^{-1}(U)$

\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }

Koska tämä joukko on tyhjä, vähintään yhden tekijän on oltava tyhjä. Tämä tarkoittaa, että joillekin tarkasteltavana oleva peite sisältää tilan peitteen esikuvan . Avaruuden tiiviyden ansiosta sen kannesta voidaan erottaa äärellinen alikansi, jolloin sen käänteiskuva kartoituksen suhteen on tilan äärellinen alikansi . $\alpha$ $\pi _{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }$ $X$

Katso myös

Tikhonovskin kuutio

Muistiinpanot

↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. N. Fomenko. Johdatus topologiaan. 2. painos, lisä. - M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 . S. 107.
↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementaarinen topologia. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 . S. 158.

Kirjallisuus

Engelking R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.