Aleksanterin esikantalause

Alexanderin alikuvantalause [ 1 ] on yleisen topologian lause , joka asettaa kriteerin topologisen avaruuden tiiviydelle .

Avaruutta kutsutaan kompaktiksi, jos se päästää sisään äärellisen alipeitteen jokaisesta päällystestään avoimien joukkojen kautta. Aleksanterin lause kaventaa merkittävästi niiden päällysteiden luokkaa, joita tarvitsee vain huomioida tiiviyden määrittämiseksi.

Lauseen muotoilussa käytetään käsitettä topologian esikanta – avoimien osajoukkojen perhe, joiden äärelliset leikkauspisteet muodostavat topologian perustan .

Lause (J. Alexander, 1939 [2] ). Topologinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos äärellisen alikannen valinta sallii jokaisen sen topologian jonkin alikannan elementeistä koostuvan kannen.

Todiste. Tämän tiiviyskriteerin tarve on ilmeinen, koska kaikki esipohjan elementit ovat avoimia sarjoja. Riittävyyden todistaa ristiriita. Olkoon avaruus X ei-kompakti, vaikka mikä tahansa kansi, joka koostuu sen topologian esikannan elementeistä, sallii äärellisen alikannen. Olkoon tämän esiasteen muodostaman avaruuden X topologian perusta. Jokainen sen elementti on esikantaelementtien äärellinen leikkauspiste. ${\mathfrak {P}}$ ${\mathfrak {B}}$

Avaruuden X kaikkien mahdollisten peitteiden joukko (eli peruselementeistä koostuva ), jotka eivät salli äärellistä alikannetta, on induktiivisesti järjestetty ja ei-tyhjä, joten siihen pätee Zornin lemma . Näin ollen on olemassa maksimaalinen (ei laajennettavissa oleva) tällainen kansi. Sen sisältämät alustan elementit eivät muodosta tilan X kantta, joten pohjaelementti peittää jonkin kohdan , mutta kansi ei sisällä yhtään alustan elementtejä . ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {P}}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$

Lisäksi käytetään suurinta tarkasteltavaa kattavuutta. Kun joukko on lisätty siihen , voimme purkaa lopullisen alikannen. Yhdistämällä kaikki nämä alikannet, pudottamalla niistä joukkoja ja lisäämällä joukko , saadaan tilan X rajallinen kansi, joka on alkuperäisen kannen alikanne. Ristiriita (alkuperäinen kansi ei sallinut äärellisiä alikansia) todistaa lauseen. $P_{i}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$

Alexanderin teoreeman helppo todistus voidaan saada seuraavalla kompaktisuuskriteerillä: topologinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos jokaisella joukon ultrasuodattimella on vähintään yksi raja $X$ $X$ [3] .

Alexanderin teoreema on hilateoreettinen (koska se on muotoiltu topologisen avaruuden avoimien osajoukkojen perheen ominaisuuksien perusteella, joka on täydellinen distributiivinen hila) ja mahdollistaa erilaisia yleistyksiä osittain järjestetyn joukkojen erityisluokkiin [4] [5] [6] .

Muistiinpanot

↑ Kutsutaan usein myös Aleksanterin (esiperuslemmiksi) .
↑ Alexander JW Tilasi sarjat, kompleksit ja tiivistysongelmat. — Pros. Nat. Acad. sci. USA 25 (1939), ss. 296-298. ( alkuperäinen artikkeli ).
↑ Tällaisen todisteen kaavio. Olkoon avaruuden osakanta siten, että mikä tahansa tilan peite elementeillä sisältää rajallisen alikangon. Antaa olla ultrasuodatin , jolla ei ole rajoja. Sitten jokaisella pisteellä on naapurusto, joka kuuluu perheelle ja ei kuulu . Siksi tilan peittävät perheen elementit , joista mikään ei kuulu ultrasuodattimeen . Tästä kannesta voidaan valita rajallinen alakansi . Silloin , mutta mikään äärellisen perheen alkio ei kuulu suodattimeen , mikä on ristiriidassa sen maksimaalisuuden kanssa. ${\mathfrak {P}}$ $X$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $x\in X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathcal {F}}$
↑ Abian A. Yleistys Aleksanterin osakantalauseesta . Arkistoitu 19. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa . — Rand. Circ. Matto. Palermo 38 (1989), s. 271-276.
↑ Erné M. Semiddistributivity, prime ideals and the subbase lemma Arkistoitu 19. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa . — Rand. Circ. Matto. Palermo 41 (1991) No. 2, s. 241-250.
↑ Roy ja Mukherjee esittelivät erityisen tiiviyden, joka määritellään Choquet-hilojen (ritilöiden) avulla ja osoittivat sille analogeja Alexanderin esiperustalle ja Tihonovin tiivistyslauseille: katso B. Roy, MN Mukherjee. Erään tyyppisestä tiiviydestä grillien kautta Arkistoitu 19. helmikuuta 2014 Wayback Machinessa . — Matem. Vesn. 59 (2007), nro. 3, s. 113-120.

Kirjallisuus

Engelking, R. Yleinen topologia / Per. englannista - M . : Mir, 1986. - Tehtävä 3.12.2 (s. 331)