Toric osa

Torinen osa on toruksen leikkaus mielivaltaisen tason mukaan . Torus-leikkauksia, Perseus-käyriä , tutkittiin antiikin aikana. Yleistä tapausta tutki Jean Darboux 1800-luvulla. [yksi]

Yleinen kaava

Torinen leikkaus on muodon neljännen asteen tasokäyrä [1]

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0.

Yhtälön viisi parametria määritellään kahdella toruksen parametrilla — pienen ja suuren ympyrän säteillä r, R , [2] ja kolmella leikkaustason määrittävällä parametrilla. [3] Jos taso ei leikkaa torusta, yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja.

Esimerkki

Toruksen poikkileikkaus bitangenttitason parametrien kanssa saadaan kaavalla $R,r,(r<R)$

${\näyttötyyli (x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.}$

Kaava voidaan hajottaa kahden ympyrän kaavojen tuloksi.

Kohtisuorat osat

Toruksen osia sen akselin kanssa yhdensuuntaisesta tasosta (pystysuorassa ympyrän kiertotasoon nähden) kutsutaan spiraalileikkauksiksi tai Perseus-käyräksi. Muinainen kreikkalainen geometri Perseus tutki niitä noin 150 eaa. e. [4] Toruksen leikkaus sen akseliin nähden kohtisuorassa olevalla tasolla on rengas .

Villarceaun ympärysmitat

Toruksen mielenkiintoisin vino leikkaus on kaksikantisen tason leikkaus - Villarceaun ympyrä . Ei-ilmeisellä tavalla tämä osa edustaa kahta leikkaavaa ympyrää. Niiden leikkauspisteet ovat yhtäpitäviä sekanttitason ja toruksen välisten kosketuspisteiden kanssa. [5]

Muistiinpanot

↑ 1 2 Sym, Antoni (2009), Darboux'n suurin rakkaus , Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical osa 42 (40): 404001 , DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001 .
↑ Torus voidaan sijoittaa koordinaattien keskelle millä tahansa sopivalla tavalla.
↑ Yksi parametri (leikkauksen kierto tasossa) voidaan poistaa toruksen keskisymmetrian vuoksi.
↑ Brieskorn, Egbert & Knörrer, Horst (1986), Käyrien alkuperä ja generointi, Tasoalgebralliset käyrät , Basel: Birkhäuser Verlag, s. 2–65, ISBN 3-7643-1769-8 , DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1 .
↑ Schoenberg, IJ (1985), Suora lähestymistapa toruksen Villarceaun ympyröihin, Simon Stevin T. 59 (4): 365–372 .