Täyttösäde

Tuntosäde on Riemannin moniston metrinen ominaisuus .

Gromovin ehdotus vuonna 1983. Hän käytti täyttösädettä todistaessaan systolisen eriarvoisuuden olennaisille jakoputkille .

Käyrät tasossa

Suljetun käyrän C täyttösäde ( ) tasossa määritellään käyrän sisällä olevan ympyrän suurimmaksi säteeksi. $\mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})$ $R>0$

Käyrän C täyttösäde voidaan myös määritellä pienimmäksi arvoksi , josta käyrä C kutistuu lähistöllään olevaan pisteeseen . $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Määritelmä

Merkitse A :lla rengasta tai , riippuen siitä, onko X suunnattavissa vai ei. $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Sitten kompaktin n - ulotteisen jakosarjan X perusluokka , jota merkitään [X] , on homologiaryhmän generaattori , ja asetamme $H_{n}(X;A)\simeq A$

\mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon } X)\oikea\},

jossa tarkoittaa X:n Kuratowskin upottamista X :n rajattujen funktioiden tilaan . ${\displaystyle \iota _{\varepsilon ))$

Ominaisuudet

Missä tahansa ulottuvuudessa on vakio , että epätasa-arvo $n$ $c_n$ $(\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M$

pätee kaikkiin suljettuihin Riemanni- ulotteisiin jakotukkiin .

n

M

Tämä on täyttösäteen pääominaisuus, jota Gromov käyttää systolisen epätasa-arvon osoittamiseen; Todisteen, jossa on merkittäviä yksinkertaistuksia ja parannettu vakio, antaa Alexander Nabutovski. [yksi]
Tietylle vähintään 3-ulotteiselle jakosarjalle epäyhtälön optimaalinen vakio $M$ $c(M)$

(\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)

kateutta vain ulottuvuudesta ja sen suuntautumisesta. [2]

M

Täyttösäde ei ylitä kolmasosaa halkaisijasta. [3]
- Tasa-arvo saavutetaan todelliselle projektiiviselle avaruudelle kanonisella metriikalla.
  - Erityisesti yksikköympyrän täyttösäde indusoidulla Riemannin metriikalla on π/3, eli kuudesosa sen pituudesta.

Olennaisen jakoputken systoli ei ylitä kuutta sen täyttösäteitä.
- Tästä epätasa-arvosta tulee tasa-arvo todellisille projektiivisille avaruksille, kuten edellä todettiin.

Kompaktin jakotukin M ruiskutussäde antaa alarajan täyttösäteelle. Nimittäin, $\mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1)).$

Muistiinpanot

↑ Alexander Nabutovski, Gromovin systolisen epäyhtälön vakioiden lineaariset rajat ja siihen liittyvät tulokset. arXiv : 1909.12225
↑ Brunnbauer, Michael, Täytön epäyhtälöt eivät riipu topologiasta. J. Reine Angew. Matematiikka. 624 (2008), 217–231.
↑ Katz, M.: Kahden pisteen homogeenisten tilojen täyttösäde. Journal of Differential Geometry 18, numero 3 (1983), 505–511.

Kirjallisuus

Gromov, M.: Filling Riemannin monimutkainen, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
Katz, M.: Kahden pisteen homogeenisten tilojen täyttösäde. Journal of Differential Geometry 18, numero 3 (1983), 505-511.
Katz , Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology , voi. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978