Tappava muoto

Killing-muoto on symmetrinen bilineaarinen muoto tietyn tyyppisellä Lie-algebralla .

Historia

Killing-muodon esitteli Cartan väitöskirjassaan. Borel otti ensimmäisen kerran käyttöön nimen "Killing form" vuonna 1951 Wilhelm Killingin kunniaksi . Vuonna 2001 hän sanoi, ettei hän muista, miksi hän valitsi tämän nimen, ja väitti, että olisi oikeampaa kutsua sitä "Cartanin muodoksi" [1] .

Määritelmä

Harkitse Lie-algebraa kentän päällä . Jokainen elementti määrittelee endomorfismin $\mathfrak{g}$ $K$ $x$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

\mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],

missä on Lie-hakasulke. Oletetaan, että sillä on äärellinen ulottuvuus. Sitten tällaisten endomorfismien koostumusjälki määrittelee symmetrisen bilineaarisen muodon $[{*},{*}]$ $\mathfrak{g}$

B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})

arvoilla . Tätä muotoa kutsutaan tappamislomakkeeksi [ 2 ] . $K$ $B$ $\mathfrak{g}$

Ominaisuudet

Tappamismuoto on bilineaarinen ja symmetrinen.
Tappamismuoto on muuttumaton muoto, ts. $B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$

missä on Lie-hakasulke.

[{*},{*}]

Jos on yksinkertainen Lie-algebra , niin mikä tahansa invariantti symmetrinen bilineaarinen muoto on verrannollinen Killing-muotoon. $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$
Killing-muoto on myös invariantti Lie-algebran automorfismissa, ts. $B(s(x),s(y))=B(x,y)$

missä .

s\in Aut({\mathfrak {g)))

Erityisesti vasen-invariantti vastaavan Lie-ryhmän muotokenttä, joka on sama kuin identiteetissä, on myös oikea-invariantti ja siten biinvariantti. $B$

Cartan-kriteerin mukaan Lie-algebra on puoliksi yksinkertainen, jos ja vain, jos Killing-muoto on ei-degeneroitunut.
Nilpotentin algebran tappamismuoto on identtisesti nolla.
Jos ja ovat kaksi ihannetta Lie-algebrassa , joiden leikkauspiste on nolla, niin ja muodostavat ortogonaaliset aliavaruudet Killing-muodon suhteen. $minä$ $J$ $\mathfrak{g}$ $minä$ $J$
Ortogonaalinen komplementti ideaalin suhteen Killing-muodon suhteen on myös ideaali.
Jos Lie-algebra on ihanteidensa suora summa, niin sen tappamismuoto on yksittäisten ehtojen tappamismuotojen suora summa. [3]

Katso myös

Casimir invariantti

Muistiinpanot

↑ Borel, Armand. Esseitä Lie-ryhmien ja algebrallisten ryhmien historiasta. - American Mathematical Society ja London Mathematical Society, 2001. - Voi. 21. - (Matematiikan historia).
↑ William Fulton, Joe Harris. Edustusteoria (englanti) // Graduate Texts in Mathematics. - 2004. - ISSN 2197-5612 0072-5285, 2197-5612 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 .
↑ Johdanto Lie-ryhmiin ja Lie-algebroihin . www.math.stonybrook.edu . Haettu 21. kesäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2021. (määrätön)