Tappava muoto
Killing-muoto on symmetrinen bilineaarinen muoto tietyn tyyppisellä
Lie-algebralla .
Historia
Killing-muodon esitteli Cartan väitöskirjassaan. Borel otti ensimmäisen kerran käyttöön nimen "Killing form" vuonna 1951 Wilhelm Killingin kunniaksi . Vuonna 2001 hän sanoi, ettei hän muista, miksi hän valitsi tämän nimen, ja väitti, että olisi oikeampaa kutsua sitä "Cartanin muodoksi" [1] .
Määritelmä
Harkitse Lie-algebraa kentän päällä . Jokainen elementti määrittelee endomorfismin



missä on Lie-hakasulke. Oletetaan, että sillä on äärellinen ulottuvuus. Sitten tällaisten endomorfismien koostumusjälki määrittelee symmetrisen bilineaarisen
muodon![{\displaystyle [{*},{*}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75a8ff0b247b0992e3c44ce522385fea412bc45)

arvoilla . Tätä muotoa kutsutaan tappamislomakkeeksi [ 2
] .


Ominaisuudet
- Tappamismuoto on bilineaarinen ja symmetrinen.
- Tappamismuoto on muuttumaton muoto, ts.
![{\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z]),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315f488ecd22f9f9faf267cade62fcda3c1f11ad)
missä on Lie-hakasulke.
- Jos on yksinkertainen Lie-algebra , niin mikä tahansa invariantti symmetrinen bilineaarinen muoto on verrannollinen Killing-muotoon.


- Killing-muoto on myös invariantti Lie-algebran automorfismissa, ts.

missä .

- Erityisesti vasen-invariantti vastaavan Lie-ryhmän muotokenttä, joka on sama kuin identiteetissä, on myös oikea-invariantti ja siten biinvariantti.

- Cartan-kriteerin mukaan Lie-algebra on puoliksi yksinkertainen, jos ja vain, jos Killing-muoto on ei-degeneroitunut.
- Nilpotentin algebran tappamismuoto on identtisesti nolla.
- Jos ja ovat kaksi ihannetta Lie-algebrassa , joiden leikkauspiste on nolla, niin ja muodostavat ortogonaaliset aliavaruudet Killing-muodon suhteen.





- Ortogonaalinen komplementti ideaalin suhteen Killing-muodon suhteen on myös ideaali.
- Jos Lie-algebra on ihanteidensa suora summa, niin sen tappamismuoto on yksittäisten ehtojen tappamismuotojen suora summa. [3]
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ Borel, Armand. Esseitä Lie-ryhmien ja algebrallisten ryhmien historiasta. - American Mathematical Society ja London Mathematical Society, 2001. - Voi. 21. - (Matematiikan historia).
- ↑ William Fulton, Joe Harris. Edustusteoria (englanti) // Graduate Texts in Mathematics. - 2004. - ISSN 2197-5612 0072-5285, 2197-5612 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 .
- ↑ Johdanto Lie-ryhmiin ja Lie-algebroihin . www.math.stonybrook.edu . Haettu 21. kesäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2021. (määrätön)