Eulerin kaava (differentiaaligeometria)

Eulerin kaava on kaava, jonka avulla voit laskea pinnan normaalin kaarevuuden.

Nimetty Leonhard Eulerin mukaan, joka todisti sen vuonna 1760.

Sanamuoto

Olkoon kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa säännöllinen pinta . Olkoon - piste - tangenttitaso pisteeseen - pisteeseen a nähden normaali yksikkö - läpi kulkeva taso ja jokin yksikkövektori sisään . Käyrää , joka saadaan tason ja pinnan leikkauspisteenä, kutsutaan pinnan normaalileikkaukseksi tietyssä suunnassa $\Phi$ $s$ $\phi ,$ $T_{p}$ $\Phi$ $p,$ $n$ $\Phi$ $p,$ $\piirakka}$ $n$ $e$ $T_{p}$ $\gamma_e,$ $\piirakka}$ $\phi ,$ $\Phi$ $s$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

jossa tarkoittaa skalaarituloa ja on kaarevuusvektori pisteessä , kutsutaan pinnan normaaliksi kaarevuudeksi suunnassa . Merkkiin asti normaali kaarevuus on yhtä suuri kuin käyrän kaarevuus . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $s$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Tangenttitasossa on kaksi kohtisuoraa suuntaa ja sellainen, että normaali kaarevuus mielivaltaisessa suunnassa voidaan esittää ns. Eulerin kaavalla : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

missä on kulma tämän suunnan ja välillä , a ovat arvot ja normaalit kaarevyydet suunnissa ja , niitä kutsutaan pääkaareviksi , ja suunnat ja ovat pinnan pääsuunnat pisteessä . Pääkaarevuus on normaalien kaarevuuden ääriarvot . Normaalien kaarevuuden rakenne tietyssä pinnan pisteessä on kätevästi kuvattu graafisesti käyttämällä Dupinin indikaattoria . $\alpha$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $s$

Katso myös

Linkit

Euler, Leonhard (1760), Recherches sur la courbure des surfaces , Memoires de l'academie des sciences de Berlin T. 16: 119–143, 1767 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333 .html > .