Kelvin-funktiot

Kelvin-funktiot ovat joukko Besselin funktioita . Jokainen niiden pari edustaa differentiaaliyhtälön ratkaisuja :

x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}-(ix^{2}+\nu ^ {2})f=0

Esitteli William Thomson (Lord Kelvin), joka tutki niitä sovelluksissa.

Ensimmäisen tyyppiset Kelvin-funktiot

Ne määritellään seuraavasti:

\operaattorinimi {ber} _{\nu }(x)=\operaattorinimi {Re} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

\operaattorinimi {bei} _{\nu }(x)=\operaattorinimi {Im} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

missä on Infeld-funktio $I_{\nu }(x)$

Kokonaisluvuille n sarjan laajennus tapahtuu:

\mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\oikea)^{k}

\mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\oikea)^{k}

Toisen tyyppiset Kelvin-funktiot

Ne määritellään seuraavasti: $\operaattorinnimi {ker} _{\nu }(x)=\operaattorinimi {Re} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)$

\operaattorinnimi {kei} _{\nu }(x)=\operaattorinimi {Im} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

missä on Macdonald-funktio . $K_{\nu }(x)$

Kokonaisluvuille n sarjan laajennus tapahtuu:

\mathrm {kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{ \frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x }{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {1 }{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4 ))+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k) )!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\oikea)^{k}

{\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^ {-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\oikea) \pi \right]{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \vasen ({\frac {x}{2}}\oikea)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x) \\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\vasen({\frac {x}{2}}\oikea)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \ vasen[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n +k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}

Kolmannen tyyppiset Kelvin-funktiot

Ne määritellään seuraavasti:

\operaattorinnimi {her} _{\nu }(x)=\operaattorin nimi {Re} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\oikea)

\operaattorinnimi {hei} _{\nu }(x)=\operaattorinimi {Im} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\oikea)

missä on ensimmäisen tyyppinen Hankel-funktio . $H_{\nu }^{(1)}(x)$

Linkit

Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Kuznetsov D. S. - "Erikoistoiminnot" - 1962