Besselin toiminnot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Besselin funktiot matematiikassa ovat joukko funktioita , jotka ovat Besselin differentiaaliyhtälön kanonisia ratkaisuja :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0,

missä on mielivaltainen reaaliluku (yleisessä tapauksessa kompleksi), jota kutsutaan järjestyksessä . $\alpha$

Yleisimmin käytetyt Bessel-funktiot ovat kokonaislukujärjestyksen funktioita .

Vaikka ne muodostavat samat yhtälöt, yleensä sovitaan, että niitä vastaavat eri funktiot (tämä tehdään esimerkiksi niin, että Besselin funktio on tasainen :ssä ). $\alpha$ $(-\alpha )$ $\alpha$

Besselin funktiot määritteli ensin sveitsiläinen matemaatikko Daniel Bernoulli , ja ne nimettiin Friedrich Besselin mukaan .

Sovellukset

Besselin yhtälö syntyy, kun etsitään ratkaisuja Laplacen yhtälölle ja Helmholtzin yhtälölle lieriömäisissä ja pallomaisissa koordinaateissa . Siksi Besselin funktioita käytetään ratkaisemaan monia aallon etenemisen, staattisten potentiaalien jne. ongelmia, esimerkiksi:

sähkömagneettiset aallot sylinterimäisessä aaltoputkessa ;
lämmönjohtavuus sylinterimäisissä esineissä;
ohuen pyöreän kalvon aaltomuodot;
pyöreän reiän taittuneen valon intensiteetin jakautuminen;
hiukkasten nopeus sylinterissä, joka on täytetty nesteellä ja pyörii akselinsa ympäri;
aaltofunktiot pallosymmetrisessä potentiaalilaatikossa.

Bessel-funktioita käytetään myös muiden ongelmien ratkaisemisessa, esimerkiksi signaalinkäsittelyssä.

Besselin funktio on sinifunktion yleistys. Se voidaan tulkita säteen värähtelyksi, jolla on vaihteleva paksuus, vaihteleva jännitys (tai molemmissa olosuhteissa samanaikaisesti); vaihtelut väliaineessa, jolla on vaihtelevia ominaisuuksia; levykalvon värinät jne.

Määritelmät

Koska yllä oleva yhtälö on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö, sillä täytyy olla kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Näille päätöksille valitaan kuitenkin erilaisia määritelmiä olosuhteiden mukaan. Alla on joitain niistä.

Ensimmäisen tyyppiset Bessel-funktiot

Ensimmäisen tyyppiset Bessel-funktiot, joita merkitään , ovat ratkaisuja, jotka päättyvät kokonaisluvun tai ei-negatiivisen pisteeseen . Tietyn funktion valinta ja sen normalisointi määräytyvät sen ominaisuuksien perusteella. Nämä funktiot voidaan määrittää käyttämällä Taylor-sarjan laajennusta lähellä nollaa (tai yleisempää potenssisarjaa ei-kokonaisluvuille ): $J_{\alpha }(x)$ $x=0$ $\alpha$ $\alpha$

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m)){m!\,\Gamma (m+\alpha + 1))){\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.

Tässä on Eulerin gammafunktio , yleistys tekijöiden arvoista ei-kokonaislukuihin. Besselin funktion kuvaaja on samanlainen kuin siniaalto , jonka värähtelyt vaimenevat suhteessa , vaikka itse asiassa funktion nollat eivät sijaitse jaksoittain (kahden peräkkäisen nollan välinen etäisyys kuitenkin pyrkii olemaan ) [ 1] . $\Gamma(z)$ ${\frac {1}{{\sqrt {x))))$ $\pi$ $x\to \infty$

Alla on kaaviot kohteista : $J_{\alpha }(x)$ $\alpha =0,1,2$

Jos ei ole kokonaisluku, funktiot ja ovat lineaarisesti riippumattomia ja ovat siten yhtälön ratkaisuja. Mutta jos kokonaisluku, niin seuraava relaatio on tosi: $\alpha$ $J_{\alpha }(x)$ $J_{{-\alpha }}(x)$ $\alpha$

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).

Se tarkoittaa, että tässä tapauksessa funktiot ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tällöin yhtälön toinen ratkaisu on toisen tyyppinen Besselin funktio (katso alla).

Besselin integraalit

Bessel-funktiolle voidaan antaa toinen määritelmä kokonaislukuarvoille käyttämällä integraaliesitystä: $\alpha$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \ tau )\,d\tau .

Tätä lähestymistapaa käytti Bessel, joka käytti sitä tutkiessaan joitain funktioiden ominaisuuksia. Toinen kiinteä esitys on myös mahdollinen:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .

Jotta löydettäisiin Besselin funktion integraaliesitys ei-kokonaislukujen tapauksessa , on otettava huomioon, että abskissa-akselia pitkin on leikkaus. Tämä johtuu siitä, että integrandi ei ole enää -jaksollinen. Siten integrointikäyrä on jaettu 3 osaan: säde kohteesta - , jossa , yksikkösäteen ympyrä ja säde kohteesta - at . Kun olet tehnyt yksinkertaisia matemaattisia muunnoksia, voit saada seuraavan integraaliesityksen: $\alpha$ $2\pi$ $-\infty$ $yksi$ $\phi =-\pi$ $yksi$ $+\infty$ $\phi =\pi$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi) )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r))))}{{}r^{\alpha +1}}}dr.

On helppo nähdä, että kokonaislukujen kohdalla tämä lauseke siirtyy edelliseen kaavaan. $\alpha$

Neumannin funktiot

Neumannin funktiot ovat Besselin yhtälön ratkaisuja, ääretön pisteessä . $Y_{\alpha }(x)$ $x=0$

Tämä toiminto liittyy seuraavaan suhteeseen: $J_{\alpha }(x)$

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

jossa kokonaisluvun tapauksessa otetaan raja on , joka lasketaan esimerkiksi käyttämällä L'Hospital -sääntöä . $\alpha$ $\alpha$

Neumannin funktioita kutsutaan myös toisen tyyppisiksi Besselin funktioiksi. Ensimmäisen ja toisen tyypin Besselin funktioiden lineaarinen yhdistelmä on Besselin yhtälön täydellinen ratkaisu:

y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).

Alla on kaavio kohteista : $Y_{\alpha }(x)$ $\alpha =0,1,2$

Useissa kirjoissa Neumannin funktiot on merkitty . $N_{\alpha }(x)$

Spherical Bessel-funktiot

Kun Helmholtzin yhtälöä ratkaistaan pallokoordinaateissa muuttujien erotusmenetelmällä, säteittäisen osan yhtälö on muotoa

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n (n+1)\oikea)y=0.

Kahta lineaarisesti riippumatonta ratkaisua kutsutaan pallomaisiksi Besselin funktioiksi j n ja y n , ja ne liittyvät tavallisiin Besselin funktioihin J n ja Neumann Y n käyttämällä [2]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) ,\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^ {n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}

yn on myös merkitty n n tai n ; Jotkut kirjoittajat kutsuvat näitä funktioita pallomaisiksi Neumannin funktioiksi .

Pallomaiset Besselin funktiot voidaan kirjoittaa myös muodossa ( Rayleighin kaava ) [3]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\ oikea)^{n}{\frac {\sin x}{x)),\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}

Muutama ensimmäinen pallomainen Besselin funktio [4] :

{\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x)),\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x} {x^{2))}-{\frac {\cos x}{x)),\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2))} -1\oikea){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left( {\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15} {x^{2}}}-1\oikea){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}

ja Neumann [5] :

{\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x)),\\y_{1}(x )&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2))}-{\frac {\sin x}{x)),\\y_{2}( x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}- {\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x ^{3))}+{\frac {6}{x}}\oikea){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}} -1\oikea){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}

Luodaan funktioita

Pallomaisten Besselin funktioiden generointi [6] :

{\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)}}y_{n-1} ( z).\end{tasattu}}

Differentiaalisuhteet

Seuraavissa kaavoissa f n voidaan korvata j n , y n , h : llä(1)
n, h(2)
n, missä h(1)
nja h(2)
n ovat pallomaisia Hankel-funktioita, kun n = 0, ±1, ±2, ... [7] :

{\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_ {n}(z)\oikea)&=z^{n-m+1}f_{nm}(z),\\\vasen({\frac {1}{z)){\frac {d}{ dz}}\oikea)^{m}\vasen(z^{-n}f_{n}(z)\oikea)&=(-1)^{m}z^{-nm}f_{n+m }(z).\end{tasattu}}

Ominaisuudet

Ortogonaalisuus

Olkoon Besselin funktion nollia . Sitten [1] : ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ $J_{\alpha }(x)$

\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{ \begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.

Asymptotiikka

Asymptoottiset kaavat tunnetaan ensimmäisen ja toisen tyyppisille Besselin funktioille . Pienillä ja ei-negatiivisilla argumenteilla ne näyttävät tältä [8] : $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1)))$ $\alpha$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)))\left({\frac {x}{2))\right)^{\alpha },

Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\ mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{ \alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.

missä on Eulerin vakio - Mascheroni (0,5772 ...), ja on Eulerin gammafunktio . Suurille argumenteille ( ) kaavat näyttävät tältä: $\gamma$ $\Gamma$ $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))- {\frac {\pi }{4}}\right),

Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt ({\frac {2}{\pi x))))\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))-{ \frac {\pi }{4}}\oikea).

Asymptoottisen laajennuksen seuraavan termin käyttö mahdollistaa tuloksen merkittävän tarkentamisen. Nollakertaisen Bessel-funktion kohdalla se näyttää tältä:

J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos(x-{\frac {\pi }{4)))+{\frac {1}{ 4x{\sqrt {2\pi x))))\sin(x-{\frac {\pi }{4)))).

Hypergeometrinen sarja

Besselin funktiot voidaan ilmaista hypergeometrisenä funktiona :

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1))){}_{0}F_{1}(\alpha +1 ;-z^{2}/4).

Siten kokonaislukujen Besselin funktio on yksiarvoinen analyyttinen ja ei-kokonaislukujen osalta moniarvoinen analyyttinen . $\alpha$

Luodaan funktio

Ensimmäisen lajin ja kokonaisluvun Besselin funktioille on esitys tietyn tyyppisen funktion Laurent-sarjan kertoimilla, nimittäin

e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\ infty }J_{n}(z)w^{n}.

Suhteet

Jacobi-Anger-kaava ja siihen liittyvät

Saatu lausekkeesta generoivalle funktiolle , [9] : $a = 1$ $w=e^{i\phi }$

e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\ phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .

, [9 ] : $a = 1$ $t=ie^{{i\phi }}$

e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos (n\phi ).

Toistuvat suhteet

Besselin funktioille on olemassa useita toistuvuussuhteita. Tässä muutama niistä:

J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x))J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)

[10] .

Lisäyslause

Jokaiselle kokonaisluvulle n ja kompleksille meillä on [11] $z_{1}$ $z_{2}$

J_{n}(z_{1}+z_{2})=\summa _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{nk}}( z_{2}).

Integraalilausekkeet

Kaikille ja (mukaan lukien monimutkaiset), [12] $a$ $b$

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^ {2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.

Viimeisen kaavan erikoistapaus on lauseke

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+ b^{2}}}}}.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Zubov V. I. . Besselin toiminnot . - M . : MIPT, 2007. Arkistoitu kopio 24. kesäkuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Abramowitz ja Stegun, s. 437, 10.1.1 Arkistoitu 2. syyskuuta 2006 Wayback Machinessa .
↑ Abramowitz ja Stegun, s. 439, 10.1.25, 10.1.26 Arkistoitu 21. joulukuuta 2009 Wayback Machinessa .
↑ Abramowitz ja Stegun, s. 438, 10.1.11 Arkistoitu 30. huhtikuuta 2009 Wayback Machinessa .
↑ Abramowitz ja Stegun, s. 438, 10.1.12 Arkistoitu 30. huhtikuuta 2009 Wayback Machinessa .
↑ Abramowitz ja Stegun, s. 439, 10.1.39 Arkistoitu 21. joulukuuta 2009 Wayback Machinessa .
↑ Abramowitz ja Stegun, s. 439, 10.1.23, 10.1.24 Arkistoitu 22. joulukuuta 2019 Wayback Machinessa .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Matemaattiset menetelmät fyysikoille. 6. painos - San Diego: Harcourt, 2005. - ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Bateman, Erdeyi, 1974 , s. viisitoista.
↑ V. S. Gavrilov ym. Besselin funktiot matemaattisen fysiikan ongelmissa Arkistoitu 26. marraskuuta 2019 Wayback Machinessa , s. 7
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , s. 670.
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , s. 671.

Kirjallisuus

Watson G. Besselin funktioiden teoria. - M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A.. Besselin funktiot, paraboliset sylinterifunktiot, ortogonaaliset polynomit // Korkeammat transsendentaaliset funktiot. T. 2. 2. painos / Per. englannista. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1974. — 296 s.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. . Kompleksisen muuttujan funktioteorian menetelmät. — M .: Nauka , 1973. — 736 s.