Nollatoiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Matematiikassa funktion nolla on elementti funktion alueesta , jossa se saa nolla-arvon. Esimerkiksi kaavan antamalle funktiolle $f$

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

$x=3$ on nolla, koska

f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0

Funktion nollien käsite voidaan ottaa huomioon kaikille funktioille, joiden alue sisältää nollan tai vastaavan algebrallisen rakenteen nollaelementin .

Reaalimuuttujan funktiolle nollat ovat arvoja, joissa funktion kuvaaja leikkaa x- akselin . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Funktion nollien löytäminen vaatii usein numeeristen menetelmien käyttöä (esim. Newtonin menetelmä , gradienttimenetelmät ).

Yksi ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista on Riemannin zeta - funktion nollien löytäminen .

Polynomijuuri

Algebran peruslause

Algebran peruslause sanoo, että jokaisella n - asteen polynomilla on n kompleksista juuria , kun otetaan huomioon niiden monikertaisuus. Kuutioyhtälöllä, kuten yllä on esitetty, on aina kolme monimutkaista juuria, kun otetaan huomioon monikertaisuus. Kaikki polynomin imaginaariset juuret, jos niitä on, sisällytetään aina konjugaattipareihin vain, jos kaikki polynomin kertoimet ovat todellisia. Jokaisella parittoman asteen polynomilla, jolla on todelliset kertoimet, on vähintään yksi reaalijuuri. Yhteys polynomin juurien ja sen kertoimien välillä muodostetaan Vietan lauseella .

Monimutkainen analyysi

Yksinkertainen holomorfisen funktion nolla jollain alueella on piste jossain naapurustossa, jonka esitys pätee , jossa on holomorfinen eikä katoa tässä vaiheessa . $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\in G$ $f(z)=(z-z_{0})g(z)$ $g$ $z_{0}$

$k$ Jossain toimialueessa holomorfisen funktion nollakerta on piste jossain naapurustossa, jonka esitys pätee , missä on holomorfinen eikä katoa tässä pisteessä . $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\in G$ $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$ $g$ $z_{0}$

Eristetyn holomorfisen funktion nollat .

Muut monimutkaisten funktioiden nollien erityisominaisuudet ilmaistaan erilaisissa teoreemoissa:

Historia

Kuutioyhtälöt

Historiallisesti imaginaarilukujen käsite on kehitetty ratkaisemalla kolmannen asteen yhtälöitä kolmella eri reaalijuurella. Cardanon kaavan mukaan yhtälön kaikki kolme juurta ovat yhtä suuret $x$ $x^{3}+kx+l=0$

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left ({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C\oikea]^{-1},$

missä (plus- tai miinusmerkkien tilalle sopivat molemmat merkit, ellei C ole 0), ja ovat kaikki mahdolliset 3. asteen kompleksiset juuret luvusta 1 , nimittäin , $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt ({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3} }{27}}}}$ $n\in \{0,1,2\},$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ $yksi$ ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Jos neliöjuuren alla oleva luku on pienempi kuin nolla ja k ja l ovat todellisia, niin ja ovat ei-todellisia konjugaattilukuja , mikä tarkoittaa, että kun ne lasketaan yhteen, saadaan kolme erilaista kuutioyhtälön reaalijuurta . ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\oikea)^{-1}$
Jos on nolla, kuutioyhtälöllä on yksi kolminkertainen juuri tai kaksi erilaista juuria, joista toinen on kaksinkertainen. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$
Jos enemmän kuin nolla, ja k ja l ovat todellisia, niin yksi luvuista on todellinen , mutta ne eivät enää ole konjugoituja: niillä on eri moduuleja , - ja seurauksena kuutioyhtälöllä on vain yksi reaalijuuri , ja kaksi muuta eivät . _ ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\oikea)^{-1}$

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ - tämä on yhtälön erottaja , jonka merkki vain määrittää juurien todellisuuden ja moninkertaisuuden. $x^{3}+kx+l=0,$

Ensi silmäyksellä kohdat 1 ja 3 esittävät paradoksaalisia tapauksia. Rafael Bombelli ratkaisi ja perusteli tämän oudon ja antoi hänelle mahdollisuuden laillistaa täysin kuvitteelliset luvut sekä negatiiviset luvut, joita ei tunnistettu Euroopassa ennen häntä.

Kirjallisuus

Function zero - artikkeli Great Soviet Encyclopediasta .
Weisstein, Eric W. Root (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .