Bernoullin numerot

Bernoulli-lukujen murto-osan osoittajat ja nimittäjät muodostavat sekvenssin A027641 OEIS : ssä ja sekvenssin A027642 OEIS : ssä , vastaavasti;

B_{0}=1

B_{1}=-{\frac {1}{2))

B_{2}={\frac {1}{6}}

B_{3}=0

B_{4}=-{\frac {1}{30))

B_{5}=0

B_{6}={\frac {1}{42}}

B_{7}=0

B_{8}=-{\frac {1}{30))

B_{9}=0

B_{10}={\frac {5}{66}}

B_{11}=0

B_{12}=-{\frac {691}{2730}}

B_{13}=0

B_{14}={\frac {7}{6}}

B_{15}=0

B_{16}=-{\frac {3617}{510}}

B_{17}=0

B_{18}={\frac {43867}{798}}

B_{19}=0

B_{20}=-{\frac {174611}{330}}

B_{22}={\frac {854513}{138}}

B_{24}=-{\frac {236364091}{2730}}

B_{26}={\frac {8553103}{6}}

B_{28}=-{\frac {23749461029}{870}}

B_{30}={\frac {8615841276005}{14322}}

B_{32}=-{\frac {7709321041217}{510}}

B_{34}={\frac {2577687858367}{6}}

B_{36}=-{\frac {26315271553053477373}{1919190}}

B_{38}={\frac {2929993913841559}{6))

B_{40}=-{\frac {261082718496449122051}{13530}}

B_{42}={\frac {1520097643918070802691}{1806}}

B_{44}=-{\frac {27833269579301024235023}{690}}

B_{46}={\frac {596451111593912163277961}{282}}

B_{48}=-{\frac {5609403368997817686249127547}{46410}}

B_{50}={\frac {495057205241079648212477525}{66}}

Bernoulli - luvut ovat rationaalilukujen sarja , jota Jacob Bernoulli tarkasteli ensimmäisenä samaan potenssiin korotettujen peräkkäisten luonnollisten lukujen summan laskemisen yhteydessä : $B_{0},B_{1},B_{2},\pisteet$

\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},

missä on binomikerroin . ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!)}}$

Jotkut kirjoittajat antavat muita määritelmiä, mutta useimmat nykyaikaiset oppikirjat antavat saman määritelmän kuin tässä. Samaan aikaan . Jotkut kirjailijat (esim. Fichtenholtzin kolmiosainen kirja ) käyttävät määritelmää, joka eroaa tästä vain merkillä . Lisäksi, koska kaikki parittomat Bernoulli-luvut ovat 0 paitsi , jotkut kirjoittajat käyttävät merkintää " " merkin tai . $B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}$ $B_{k}$ $B_1$ $B_{n}$ $B_{2n}$ $|B_{2n}|$

Toistuva kaava

Bernoulli-luvuille on olemassa seuraava rekursiivinen kaava :

B_{0}=1,

B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{nk },\quad n\in \mathbb {N} .

Ominaisuudet

Kaikki parittomat Bernoulli-luvut lukuun ottamatta ovat nollia, ja parillisten Bernoulli-lukujen merkit vuorottelevat. $B_1$
Bernoulli-luvut ovat Bernoullin polynomien arvoja : $B_{n}(x)$ $x=0$

B_{n}=B_{n}(0).

Bernoullin luvut sisältyvät usein perusfunktioiden potenssisarjalaajennusten kertoimiin . Esimerkiksi:
- Bernoulli-lukujen eksponentiaalinen generointifunktio : ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!)}}x^ { n},|x|<2\pi ,$ $x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n) !}}x^{2n},|x|<\pi ,$ $\operaattorinimi {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{( 2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.$
Euler loi yhteyden Bernoulli-lukujen ja Riemannin zeta-funktion ζ( s ) arvojen välille parilliselle s = 2 k :lle: $B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k))}.$

Yhtä hyvin kuin

B_{n}=-n\zeta (1-n)

kaikille luonnollisille luvuille n > 1.

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1 }{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$
Bernoulli-lukujen kasvujärjestys saadaan seuraavalla asymptoottisella kaavalla: ${\displaystyle |B_{n}|\sim {\frac {2\cdot n!}{(2\pi )^{n))))$ jopa kanssa . Yllä kirjoitetusta kaavasta seuraa, että tämä asymptotiikka vastaa yhtälöä: . $n\to\infty$ $\lim \limits _{k\to \infty }{\zeta (2k)}=1\;{\text{by}}\;k\in \mathbb {Z}$

Kirjallisuus

Bernoullin numerot // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Abramovitš V. Bernoullin numerot // Kvant . - 1974. - Nro 6 . - S. 10-14 .

Linkit

Bernoulli numerogeneraattori