Nolla pariteetti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Itse asiassa nolla  on parillinen luku . Mutta kysymys siitä, pitäisikö sitä sellaisenaan pitää, herättää epäilyksiä ihmisissä, jotka eivät ole tarpeeksi perehtyneet matematiikkaan. Monet ihmiset pitävät nollaa vieläkin vaikeampana kuin luonnollinen luku, kuten 2, 4, 6 tai 8. He joko eivät voi tehdä sitä ollenkaan tai pitävät nollaa parittomana (tai kaksoispariteettilukuna).

Määritelmän mukaan parillinen luku on kahdella jaollinen kokonaisluku ilman jäännöstä . Nollalla on kaikki tällaisten lukujen ominaisuudet; esimerkiksi sen molemmin puolin reunustaa pariton. Jokaisella desimaalikokonaisluvulla on sama pariteetti kuin kyseisen luvun viimeisellä numerolla - kymmenen ja siksi nolla on parillinen.

Nolla vastaa myös kuvioita, jotka muodostavat muita parillisia lukuja. Aritmetiikassa pariteettisäännöt, kuten parillinen−parillinen=parillinen[ selventää ] ehdottaa, että 0 on myös parillinen luku. Nolla on neutraali elementti lisäämällä joukko parillisia lukuja, myös alku, josta muut parilliset luonnolliset luvut määritellään rekursiivisesti . Tällaisen graafiteorian rekursion soveltaminen laskennalliseen geometriaan perustuu sen pariteettiin. Nolla ei ole jaollinen vain kahdella, vaan kaikilla potenssillaan. Tässä mielessä se on "tasillisin" luku.

Miksi nolla on parillinen

Sen todistamiseksi, että nolla on parillinen, voidaan suoraan käyttää "parillisen luvun" standardimääritelmää. Luvun sanotaan olevan parillinen, jos se on 2:n kerrannainen. Esimerkiksi syy 10 on parillinen, koska se on yhtä suuri kuin 5 × 2 . Samalla nolla on myös luvun 2 kokonaislukukerrannainen, eli 0 × 2 , joten nolla on parillinen [1] .

Lisäksi on mahdollista selittää, miksi nolla on tasainen ilman muodollisia määritelmiä.

Yksinkertaiset selitykset

Nolla on luku , ja numeroita käytetään laskemiseen. Jos kohteita on useita, numeroita käytetään kuvaamaan niiden lukumäärää. Nolla on mitta siinä tapauksessa, että ei ole yhtä objektia ; muodollisemmin se on objektien lukumäärä tyhjässä joukossa . Pariteetin käsitettä käyttäen luodaan ryhmiä objektiparista. Jos joukon objektit voidaan jakaa ja merkitä pareittain ilman jäännöstä, niin objektien lukumäärä on parillinen. Jos on objekti, joka ei sisälly ryhmiin, objektien lukumäärä on pariton. Tyhjä joukko sisältää 0 paria objekteja, eikä siinä ole jäljellä tällaista ryhmittelyä, joten nolla on parillinen [3] .

Kaikki nämä argumentit voidaan havainnollistaa piirtämällä objektit pareittain. On vaikea piirtää nollapareja tai osoittaa, että paritonta jäännöstä ei ole, joten on kätevää piirtää muita ryhmiä ja verrata niitä nollaan. Esimerkiksi viiden objektin ryhmässä on kaksi paria. Lisäksi siinä on esine, joka ei kuulu mihinkään pariin - siksi numero 5 on pariton. Neljän kohteen ryhmässä ei ole enää yhtään objektia jäljellä, vain kaksi paria, joten 4 on parillinen. Ryhmässä ei ole pareja, joissa on vain yksi kohde, ja siellä on yksi jäännös, joten 1 on pariton. Ryhmässä, jossa on nolla objektia, ei ole pareja eikä jäännöstä, joten 0 on parillinen [4] [5] .

Numerot voidaan esittää pisteillä numerorivillä . Jos laitat siihen parilliset ja parittomat luvut, niiden yleinen kuvio tulee ilmeiseksi, varsinkin jos lisäät negatiivisia lukuja:

Parilliset ja parittomat luvut vuorottelevat keskenään. Ei ole mitään syytä ohittaa numeroa nolla [6] .

Kertolaskuoperaatiolla pariteetti voidaan määritellä muodollisemmin aritmeettisten lausekkeiden avulla . Jokaiselle kokonaisluvulle yksi muodoista on merkityksellinen: (2 × N) + 0 tai (2 × N) + 1 . Ensimmäinen lauseke vastaa parillisia lukuja ja toinen parittomia lukuja. Esimerkiksi 1 on pariton, koska 1 = (2 × 0) + 1 , ja 0 on parillinen, koska 0 = (2 × 0) + 0 . Jos tällaiset lausekkeet kirjoitetaan taulukkoon järjestyksessä, saadaan jälleen kuvio kuten numeerisella akselilla [7] .

Matemaattinen konteksti

Teorian numeeriset tulokset viittaavat aritmeettisen peruslauseen ja parillisten lukujen algebrallisiin ominaisuuksiin, joten yllä olevalla sopimuksella on kauaskantoisia seurauksia. Esimerkiksi se, että positiivisilla luvuilla on ainutlaatuinen tekijöiden jako , tarkoittaa, että yhdelle luvulle on mahdollista määrittää, onko sillä parillinen vai pariton määrä erillisiä alkutekijöitä. Koska 1 ei ole alkuluku eikä sillä myöskään ole alkutekijöitä, se on alkulukujen tyhjä tulo; koska 0 on parillinen luku, 1:llä on parillinen määrä alkutekijöitä. Tästä seuraa, että Möbius-funktio saa arvon μ (1) = 1, joka on välttämätön, jotta se olisi kertova funktio ja jotta Möbius-kiertokaava toimisi [8] [9] .

Koulutuksessa

Yhdistyneen kuningaskunnan koulujärjestelmässä on esitetty kysymys siitä, onko nolla parillinen luku. Tästä aiheesta tehtiin lukuisia koululaisten mielipidemittauksia. Kävi ilmi, että opiskelijat arvioivat nollan pariteettia eri tavoin: toiset pitävät sitä parillisena, toiset - parittomana, toiset uskovat sen olevan erikoisluku - molempia samanaikaisesti tai ei kumpaakaan. Lisäksi viidennen luokan oppilaat antavat oikean vastauksen useammin kuin kuudennen luokan oppilaat [11] .

Tutkimukset ovat osoittaneet, että edes koulujen ja yliopistojen opettajat eivät ole tarpeeksi tietoisia nollan pariteetista. Joten esimerkiksi noin 2/3 Etelä-Floridan yliopiston tiedekunnasta vastasi "ei" kysymykseen "Onko nolla parillinen luku?" [12] .

Muistiinpanot

  1. ↑ Penner, 1999 , s. 34 Lemma B.2.2, Kokonaisluku 0 on parillinen eikä pariton . Penner käyttää matemaattista symbolia ∃, eksistentiaalista kvantisoijaa todistaakseen: "Jotta nähdä, että 0 on parillinen, meidän on todistettava, että ∃ k (0 = 2 k ) ja tämä seuraa yhtälöstä 0 = 2 ⋅ 0. "
  2. ↑ Vertaa Lichtenberg, 1972 , s. 535 yksi
  3. ↑ Lichtenberg, 1972 , s. 535-536 ”…luvut vastaavat kysymykseen Kuinka monta? oliojoukolle … nolla on tyhjän joukon numeroominaisuus … Jos kunkin joukon alkiot on merkitty kahden ryhmiin …, tämän joukon numero on parillinen luku."
  4. ↑ Lichtenberg, 1972 , s. 535-536 "Kahden tähden nollaryhmät on ympyröity. Tähtiä ei ole jäljellä. Siksi nolla on parillinen luku."
  5. ↑ Dickerson & Pitman, 2012 , s. 191
  6. ↑ Lichtenberg, 1972 , s. 537; vertaa häntä kuva. 3. "Jos parilliset luvut tunnistetaan jollain erityisellä tavalla... ei ole mitään syytä jättää nollaa pois kuviosta."
  7. ↑ Lichtenberg, 1972 , s. 537-538 "Edistyneemmällä tasolla ... numerot ilmaistuna (2 × ▢) + 0 ovat parillisia lukuja ... nolla sopii hyvin tähän malliin."
  8. ↑ Devlin, 1985 , s. 30–33
  9. ↑ Dehaene, Bossini & Giraux, 1993 , s. 376-377
  10. ↑ Frobisher, 1999 , s. 41
  11. ↑ Levenson, Tsamir & Tirosh, 2007 , s. 83–95
  12. ↑ Katso tiedot kaikkialta Dehaene, Bossini & Giraux, 1993 , ja yhteenveto Nuerk, Iversen & Willmes, 2004 , s. 837.

Kirjallisuus