Einstein-Podolsky-Rosen paradoksi

Einstein - Podolsky - Rosen paradoksi ( lyhennetty EPR-paradoksi ) on paradoksi, jota ehdotetaan osoittamaan kvanttimekaniikan epätäydellisyyttä ajatuskokeella , joka koostuu mikroobjektin parametrien mittaamisesta epäsuorasti vaikuttamatta suoraan tähän kohteeseen . Tällaisen epäsuoran mittauksen tarkoituksena on yrittää saada enemmän tietoa mikroobjektin tilasta kuin sen tilan kvanttimekaaninen kuvaus antaa.

Aluksi kiistat paradoksista olivat luonteeltaan enemmänkin filosofisia ja liittyivät siihen, mitä pitäisi pitää fyysisen todellisuuden elementteinä: pitääkö vain kokeiden tuloksia pitää fyysisenä todellisuutena ja voidaanko universumi hajottaa erikseen olemassa oleviksi "todellisuuden elementeiksi". ” niin, että jokaisella näistä elementeistä on oma matemaattinen kuvaus.

Paradoksin olemus

Heisenbergin epävarmuussuhteen mukaan hiukkasen sijaintia ja liikemäärää ei ole mahdollista mitata tarkasti samanaikaisesti . Olettaen, että epävarmuuden syy on se, että yhden suuren mittaus tuo tilaan pohjimmiltaan poistamattomia häiriöitä ja aiheuttaa toisen suuren arvon vääristymisen, voimme ehdottaa hypoteettista tapaa, jolla epävarmuussuhde voidaan ohittaa.

Oletetaan, että kaksi identtistä hiukkasta muodostuivat kolmannen hiukkasen hajoamisen seurauksena . Tässä tapauksessa liikemäärän säilymislain mukaan niiden kokonaisliikemäärän on oltava yhtä suuri [1] kuin kolmannen hiukkasen alkuliikemäärä, eli näiden kahden hiukkasen momenttien on oltava suhteessa toisiinsa. Tämä mahdollistaa yhden hiukkasen liikemäärän mittaamisen ( ) ja liikemäärän säilymislain mukaan laskemisen toisen ( ) liikemäärän aiheuttamatta häiriöitä sen liikkeeseen. Nyt, kun on mitattu toisen hiukkasen koordinaatti, on mahdollista saada tälle hiukkaselle kahden samanaikaisesti mittaamattoman suuren arvot, mikä on mahdotonta kvanttimekaniikan lakien mukaan . Tämän perusteella voitaisiin päätellä, että epävarmuussuhde ei ole absoluuttinen ja kvanttimekaniikan lait ovat epätäydellisiä ja niitä tulisi jatkossa jalostaa. $A$ $B$ $C$ ${\mathbf p}_{A}+{\mathbf p}_{B}$ ${\mathbf p}_{C}$ $A$ ${\mathbf p}_{B}={\mathbf p}_{C}-{\mathbf p}_{A}$ $B$

Jos kvanttimekaniikan lakeja ei tässä tapauksessa rikota, niin yhden hiukkasen liikemäärän mittaaminen vastaa toisen hiukkasen liikemäärän mittaamista. Tämä antaa kuitenkin vaikutelman ensimmäisen hiukkasen välittömästä vaikutuksesta toiseen, mikä on ristiriidassa kausaalisuuden periaatteen kanssa .

Tausta

Vuonna 1927 viidennessä Solvayn kongressissa Einstein vastusti voimakkaasti Max Bornin ja Niels Bohrin " Kööpenhaminan tulkintaa " , joka pitää kvanttimekaniikan matemaattista mallia olennaisesti todennäköisyyspohjaisena. Hän totesi, että tämän tulkinnan kannattajat "tekevät hyveen tarpeesta", ja todennäköisyys osoittaa vain, että tietomme mikroprosessien fyysisestä olemuksesta on puutteellinen [3] . Näin syntyi Bohr-Einsteinin kiista aaltofunktion fyysisestä merkityksestä .

Vuonna 1935 Einstein kirjoitti yhdessä Boris Podolskyn ja Nathan Rosenin kanssa artikkelin "Voidaanko fyysisen todellisuuden kvanttimekaanista kuvausta pitää täydellisenä?" [4] . Rosenin muistelmien mukaan Einstein "muotoili ongelman yleisen lausuman ja sen merkityksen", Podolsky muokkasi artikkelin tekstiä ja Rosen itse suoritti oheiset laskelmat [5] . Artikkeli julkaistiin 15. toukokuuta 1935 amerikkalaisessa Physical Review -lehdessä , ja siinä kuvattiin ajatuskokeilu , jota myöhemmin kutsuttiin Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksiksi.

Monet johtavat fyysikot pitivät paradoksin julkaisemista "rohkeana sinisestä". Skeptinen Paul Dirac julisti, että "sinun on aloitettava alusta... Einstein osoitti, että se [Kööpenhaminan tulkinta] ei toimi sillä tavalla." Erwin Schrödinger ilmaisi tukensa Einsteinille kirjeessään. Elokuussa Schrödingerille antamassaan vastauskirjeessä Einstein hahmotteli toisen samanlaisen paradoksin: ruutitynnyri voi syttyä itsestään satunnaisella hetkellä, ja sen aaltofunktio kuvaa ajan mittaan räjähtäneen ja räjähtämättömän tynnyrin lähes käsittämättömän päällekkäisyyden. . Saman vuoden marraskuussa 1935 Schrödinger kehitti tämän idean kuuluisaksi paradoksiksi " Schrödingerin kissa " [5] .

Belgialaisen fyysikon Leon Rosenfeldin muistelmien mukaan Niels Bohr käsitteli vain paradoksiongelmaa kuuden viikon ajan, mutta ei löytänyt virheitä Einsteinin väitteessä. Bohr ilmaisi vastausartikkelissaan samassa lehdessä ja samalla otsikolla [6] (heinäkuu 1935), että EPR-argumentit eivät riitä todistamaan kvanttimekaniikan epätäydellisyyttä. Bohr esitti useita perusteluja kvanttimekaniikan todennäköisyyspohjaiselle kuvaukselle ja tietylle analogialle kvanttimekaniikan ja Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian välillä . Myöhemmin Bohr piti väitteitään epäselvinä. Werner Heisenberg tuki Bohria ja vastusti Einsteinia: "filosofiaa on mahdotonta muuttaa muuttamatta fysiikkaa" [5] .

David Bohm harkitsi vuonna 1952 mahdollisuutta suorittaa kokeilu (teknisesti ei vielä tuolloin ollut mahdollista), ns. optinen versio EPR-kokeesta , joka voisi ratkaista Einstein-Bohrin kiistan.

Vuonna 1964 [7] John Stuart Bell esitteli matemaattisen formalismin käyttämällä lisäparametreja , jotka voisivat selittää kvanttiilmiöiden todennäköisyyden. Hänen suunnitelmansa mukaan hänen saamillaan epäyhtälöillä oli tarkoitus osoittaa, voisiko lisäparametrien käyttöönotto tehdä kvanttimekaniikan kuvauksesta ei todennäköisyyden, vaan deterministisen : jos Bellin epäyhtälöt rikotaan , tällainen deterministinen kuvaus lisäparametreilla on mahdotonta. Näin kokeessa tuli mahdolliseksi saada tietty arvo, joka kuvaa etämittausten välisiä korrelaatioita , ja sen perusteella sanoa, onko kvanttiilmiöitä järkevää kuvata todennäköisyydellä vai deterministisesti.

Stuart J. Friedmanin ja John F. Clauserin [8] Kalifornian yliopistossa Berkeleyssä vuonna 1972 suorittamien kokeiden tulokset olivat yhdenmukaisia kvanttimekaniikan kanssa, ja Bellin epätasa- arvojen rikkominen havaittiin .

Sitten Harvardin yliopistossa Richard A. Holt ja Francis M. Pipkin [9] saivat tuloksen, joka on eri mieltä kvanttimekaniikan kanssa, mutta tyydyttää Bellin epätasa-arvoa.

Vuonna 1976 Houstonissa Edward S. Fry ja Randell S. Thompson [10] tekivät paljon täydellisemmän korreloituneiden fotonien lähteen, ja niiden tulos osui yhteen kvanttimekaniikan ennusteiden kanssa. He totesivat Bellin epätasa-arvon rikkomisen.

Kaikki nämä kokeet suoritettiin yksikanavaisilla polarisaattoreilla ja erosivat vain korreloitujen fotonien lähteistä ja niiden tuotannosta. Tässä yksinkertaistetussa kokeellisessa asetelmassa käytetään polarisaattoreita, jotka lähettävät rinnakkain polarisoitua valoa (tai ), mutta eivät lähetä valoa ortogonaalisessa suunnassa. Siksi on mahdollista saada vain osa määristä, joita tarvitaan etämittausten välisen korrelaation laskemiseen. $a$ $b$

Kokeiden tarkkuuden lisäämiseksi oli tarpeen saada vakaa ja hyvin hallittu sotkeutuneiden fotonien lähde ja käyttää kaksikanavaista polarisaattoria. Vuosina 1982-1985. Alain Aspe perusti asianmukaisia laitteita käyttäen sarjan monimutkaisempia kokeita, joiden tulokset osuivat myös kvanttimekaniikan ennusteisiin ja osoittivat Bellin epätasa-arvojen rikkomisen.

Kokeiden asettaminen ja yksityiskohtien tarkistaminen jatkuvat edelleen ja A. Aspen mukaan sen pitäisi lopulta johtaa lopulliseen kokeeseen, joka ei jätä mitään "reikiä" [11] . Mutta toistaiseksi tällaista koetta ei ole suoritettu, ja piilomuuttujien teorian kannattajat osoittavat uusia yksityiskohtia ja mahdollisuuksia täydellisen kvanttimekaanisen teorian rakentamiseen.

Paradoksin selitys

EPR-koe mahdollistaa tekijöidensä näkökulmasta hiukkasen koordinaatin ja liikemäärän tarkan mittaamisen samanaikaisesti. Samaan aikaan kvanttimekaniikka väittää, että tämä on mahdotonta. Tämän perusteella Einstein, Podolsky ja Rosen päättelivät, että kvanttiteoria on epätäydellinen . Itse asiassa EPR:n kuvaama koe ei ole ristiriidassa kvanttimekaniikan kanssa ja se on helposti analysoitavissa sen avulla. Näennäinen ristiriita syntyy, koska termillä "mittaus" on hieman erilaiset merkitykset klassisessa ja kvanttiteoriassa (katso Mittaus (kvanttimekaniikka) ).

Mittaus ja kunto

Kvanttimekaniikassa mittaus johtaa järjestelmän tilan muutokseen . Jos hiukkasen liikemäärä mitataan , se menee aaltofunktion kuvaamaan tilaan . Toistuvat liikemäärämittaukset tässä tilassa johtavat aina samaan . Tässä mielessä voimme sanoa, että tilassa olevalle hiukkaselle on ominaista tietty liikemäärän arvo . $s$ $\psi _{p}(x)$ $s$ $\psi _{p}(x)$ $s$

Tilassa on mahdollista mitata hiukkasen koordinaatti mielivaltaisesti tarkasti, löytää se johonkin avaruuden pisteeseen verrannollisella todennäköisyydellä [12] . Hiukkasen tila tällaisen mittauksen jälkeen kuitenkin muuttuu: se menee tilaan, jossa on tietty koordinaattiarvo . Erityisesti, jos mittauksen jälkeen impulssi mitataan uudelleen, saadaan arvo, joka todennäköisimmin eroaa alkuperäisestä. Siten: 1) välittömästi ennen koordinaatin mittaamista impulssilla on tietty arvo; 2) mittaushetkellä (miten lyhyt tahansa) saadaan tietty koordinaatin arvo. Tästä ei kuitenkaan seuraa, että koordinaatilla ja liikemäärällä mittaushetkellä olisi yhteiset, samanaikaisesti tunnetut arvot. $\psi _{p}(x)$ $|\psi _{p}(x)|^{2}$ $x$ $x$ $x$ $x$

EPR-kokeessa ensimmäisen hiukkasen liikemäärän mittauksen jälkeen myös toinen hiukkanen menee tilaan, jossa on tietty liikemäärä. Sen koordinaatti voidaan mitata, mutta välittömästi tällaisen mittauksen jälkeen hiukkasen liikemäärä muuttuu, joten on turha väittää, että koordinaattia ja liikemäärää mitattiin samanaikaisesti.

Epävarmuussuhde

Kvanttimekaniikan asettamat rajoitukset paikan ja liikemäärän samanaikaiselle mittaamiselle voidaan ilmaista käyttämällä Heisenbergin epävarmuussuhdetta . Tällä epätasa-arvolla on pohjimmiltaan tilastollinen merkitys. Sen käyttämiseksi on tarpeen suorittaa useita koordinaatti- ja liikemäärämittauksia eri hiukkasille, jotka ovat samassa kvanttitilassa (ns. partikkelikokonaisuus [13] ). Laskemalla saatujen arvojen keskiarvon ja laskemalla keskihajonnan keskiarvosta saadaan arvot ja . Heidän tuotteensa täyttää Heisenbergin epätasa-arvon riippumatta siitä, missä tilassa kokonaisuus on valmistettu. $\Delta x\cdot \Delta p\geqslant \hbar /2$ $x_{1},\;x_{2},\;\ldots$ $p_{1},\;p_{2},\;\ldots$ $\Delta x$ $\Delta p$

EPR-koe suoritetaan kerran, joten se ei voi olla ristiriidassa epävarmuussuhteen kanssa. Keskihajonnan laskeminen yhdessä kokeessa on mahdotonta. Jos EPR-koe toistetaan monta kertaa samassa tilassa olevalle hajoavien järjestelmien joukolle, niin mittaustulosten keskiarvon laskeminen tyydyttää epävarmuussuhteen. Tässä suhteessa ei ole myöskään ristiriitaa kvanttimekaniikan kanssa.

Nonlocality

Klassisen fysiikan kannalta epätavallinen piirre EPR-kokeessa on, että ensimmäisen hiukkasen liikemäärän mittauksen seurauksena toisen hiukkasen tila muuttuu, kun hiukkaset ovat mielivaltaisen kaukana toisistaan. Tämä osoittaa kvanttiteorian ei- lokaalisen luonteen . Järjestelmä, joka koostuu kahdesta hiukkasesta, joiden tilaa kuvaa yksi aaltofunktio, ei ole näiden hiukkasten yksinkertainen "summa", vaikka niiden välillä ei olisikaan vuorovaikutusta. Mittauksen aikana tällaisen komposiittijärjestelmän tila voi muuttua. Tästä näkökulmasta EPR:n alkuperäinen lähtökohta siitä, että " koska mittauksen aikana nämä kaksi järjestelmää eivät enää ole vuorovaikutuksessa, ei toisessa järjestelmässä suoritettujen toimien seurauksena saada todellisia muutoksia " [14] . Aaltofunktio on ei-paikallinen suure, eikä suurella hiukkasten välisellä etäisyydellä ole merkittävää roolia sitä muuttavassa mittauksessa.

EPR - ajatuskokeilu ja siihen liittyvä kvanttimekaniikan epäpaikallisuus herättää tällä hetkellä laajaa huomiota kvanttiteleportaatiokokeiden yhteydessä . Historiallisesti Einstein-Podolsky-Rosen-paradoksilla ja sitä seuranneella keskustelulla Bohrin ja Einsteinin välillä oli tärkeä rooli selkeyttää sellaisia keskeisiä fyysisiä käsitteitä kuin "mittaus", "teorian täydellisyys", "fyysinen todellisuus" ja "järjestelmän tila". .

Identiteettiperiaate

Identiteettiperiaatteen mukaisesti kaikki hiukkaset ovat meille erottamattomia, samoja. Siten, kun yritetään epäsuorasti määrittää sekä elektronin liikemäärän että koordinaatin tarkat arvot elektroni -positroniparin syntymän tapauksessa mittaamalla tarkalleen positroni liikemäärä , kun mitataan "tarkka" elektronin koordinaattia, emme voi sanoa, onko se elektroni vai mittalaitteen "toinen" elektroni, joka tuo epävarmuutta kokeeseemme epävarmuusperiaatteen mukaisesti . Lisäksi sen sijaan, että mittaamme tarkasti ”tarpeen” hiukkasen parametrin, voimme mitata yhden identtisistä virtuaalipartikkeleista parametrin , jonka olemassaolo vahvistettiin kokeellisesti Casimir-ilmiön ansiosta, mikä voi myös aiheuttaa virheepävarmuutta. meidän kokeilumme.

"Fyysisen todellisuuden kriteeri" ja "fysikaalisen teorian täydellisyyden" käsite

Ilmaistakseen mitä tarkimmin ja muodollisimmin kvanttimekaniikka on epätäydellinen, Einstein, Podolsky, Rosen muotoilevat artikkelissaan "fyysisen todellisuuden kriteerin":

Jos voimme ilman järjestelmän häiriötä ennustaa varmuudella (toisin sanoen todennäköisyydellä yhtä) jonkin fyysisen suuren arvon, silloin on olemassa fyysisen todellisuuden elementti, joka vastaa tätä fyysistä määrää.

Ne osoittavat myös, mitä he tarkoittavat "fysikaalisen teorian täydellisyydellä":

Fysikaalisen teorian onnistumisen arvioimiseksi voimme kysyä itseltämme kaksi kysymystä: 1) Onko teoria oikea? ja 2) Onko teorian antama kuvaus täydellinen? Vain jos näihin molempiin kysymyksiin voidaan vastata myöntävästi, voidaan teorian käsityksiä pitää tyydyttävinä. Ensimmäinen kysymys - teorian oikeellisuudesta - ratkaistaan riippuen teorian johtopäätösten ja ihmiskokemuksen välisestä yhtäpitävyydestä. Tämä kokemus, joka yksin antaa meille mahdollisuuden tehdä johtopäätöksiä todellisuudesta, on kokeen ja mittauksen muodossa fysiikassa. Haluamme tarkastella tässä kvanttimekaniikkaa ajatellen toista kysymystä ... mistä tahansa täydellisestä teoriasta, meidän mielestämme, on vaadittava seuraavaa: fyysisen todellisuuden jokaisen elementin on heijastuttava fysikaaliseen teoriaan . Kutsumme tätä täydellisyyden ehdoksi .

Sen jälkeen kirjoittajat panevat merkille kvanttimekaniikasta hyvin tunnetun tosiasian:

…tilassa ψ olevalle hiukkaselle ei voida ennustaa tiettyä koordinaatin arvoa, vaan se voidaan saada vain suoralla mittauksella. Tällainen mittaus häiritsee hiukkasta ja muuttaa siten sen tilaa. Kun koordinaatti on määritetty, hiukkanen ei ole enää samassa tilassa. Yleensä kvanttimekaniikassa tästä tehdään seuraava johtopäätös: jos hiukkasen liikemäärä tunnetaan, niin sen koordinaatilla ei ole fyysistä todellisuutta .

Ja tästä tehdään looginen johtopäätös: "todellisuuden kvanttimekaaninen kuvaus aaltofunktion avulla ei ole täydellinen ." Sitten tarkastellaan sotkeutuneiden tilojen tapausta , ja kirjoittajat päättelevät, että "kaksi fyysistä määrää ei-työmatkaoperaattoreiden kanssa voivat olla todellisia samanaikaisesti". Ja tämä tarkoittaa, että niitä voidaan mitata samanaikaisesti, mikä on ristiriidassa Heisenbergin epävarmuuden kanssa . Vastaavasti, jos todellisuudesta on olemassa kvanttimekaaninen kuvaus tiheysmatriisin avulla, se ei ole täydellinen .

Paradoksin kritiikki

Bohrin vastaus

Bohrin vastaus alkaa lausumalla:

Kvanttimekaniikka näyttää soveltuvuusalueellaan olevan täysin rationaalinen kuvaus niistä fysikaalisista ilmiöistä, joita kohtaamme atomiprosessien tutkimuksessa ... EPR-paradoksin argumentti tuskin sopii heikentämään kvanttimekaanisen kuvauksen luotettavuutta perustuu yhtenäiseen matemaattiseen teoriaan, joka kattaa kaikki mittaukset.

ja lisäksi Bohr tarkastelee riittävän yksityiskohtaisesti useita mittauksia kokeissa. Hän kiistää, että kvanttimekaanisen kuvauksen epätäydellisyydestä voitaisiin puhua. Ja todennäköisyysmittaukset liittyvät kyvyttömyyteen ohjata kohteen käänteistä toimintaa mittauslaitteessa (eli ottamalla huomioon liikemäärän siirto mittausaseman tapauksessa ja siirtymän huomioon ottaminen liikemäärän mittauksessa). Sitten hän harkitsee erilaisia tapoja poistaa tällainen vaikutus ja tekee johtopäätöksen:

Hiukkasen ja mittauslaitteen välisten vuorovaikutusten tarkemman analyysin mahdottomuus... on olennainen ominaisuus kaikissa kokeellisissa olosuhteissa, jotka soveltuvat tarkasteltavan tyyppisten ilmiöiden tutkimiseen, joissa kohtaamme täysin yksilöllisyyden omituisen piirteen. vieras klassiselle fysiikalle.

Bohr itse asiassa vastaa ikään kuin kysymykseen " Onko teoria oikea? ". Kyllä, se on oikein, ja kokeen tulokset vahvistavat tämän. Einstein ja muut kirjoittajat puolestaan keskittyvät kysymykseen " Onko teorian antama kuvaus täydellinen? ”, eli voidaanko löytää tyydyttävämpi matemaattinen kuvaus, joka vastaisi fyysistä todellisuutta, ei mittauksiamme. Bohr on sitä mieltä, että fyysinen todellisuus antaa fyysisen mittauksen kokeessa. Einstein ilmeisesti myöntää, että fyysinen todellisuus voi poiketa siitä, mitä meille kokemuksessa on annettu, jos vain matemaattinen kuvaus antaisi meille mahdollisuuden ennustaa varmuudella (toisin sanoen todennäköisyydellä yhtä) jonkin fyysisen arvon. määrä.

Siksi Fock huomauttaa, että Einstein ja Bohr asettivat eri merkityksiä joihinkin termeihin [15] ja kaikki molempien osapuolten argumentit ovat alisteisia alkuperäiselle kannalle, jonka vastustaja valitsi itselleen:

Einstein ymmärtää sanan "tila" siinä merkityksessä, joka sille tavallisesti viitataan klassisessa fysiikassa, toisin sanoen jonkin täysin objektiivisen ja täysin riippumattoman siitä tiedosta. Täältä kaikki paradoksit tulevat. Kvanttimekaniikka on todella kiinnostunut luonnon objektiivisten ominaisuuksien tutkimuksesta siinä mielessä, että sen lait ovat luonnon itsensä määräämiä, ei ihmisen fantasia. Mutta tilan käsite kvanttimerkityksessä ei kuulu objektiivisten käsitteiden joukkoon. Kvanttimekaniikassa tilan käsite sulautuu käsitteeseen "tiedon tilasta, joka on saatu tietyn maksimitarkan kokemuksen tuloksena". Siinä aaltofunktio ei kuvaa tilaa tavallisessa merkityksessä, vaan pikemminkin näitä "tilatietoja" [16] .

Tämän kiistan ytimessä on siis kysymys fysiikan teorian tiettyjen postulaattien riittävyydestä ja välttämättömyydestä ja tästä lähtevästä filosofisesta fyysisen todellisuuden (luonnon) ymmärryksestä ja siitä, millainen fysiikan ilmiöiden kuvaus voi tutkijaa tyydyttää. Ja tätä kysymystä ratkaistaessa on selkeästi nähtävissä tärkeä yhteys filosofian ja fysiikan välillä [17] .

Bohmin optinen versio henkisestä EPR-kokemuksesta

Bohm vuonna 1952 kirjansa viimeisessä luvussa [18] huomauttaa, että EPR-paradoksissa annetussa fyysisen todellisuuden kriteerissä on implisiittisesti läsnä kaksi oletusta :

Universumi voidaan oikein hajottaa erilaisiksi ja erikseen olemassa oleviksi "todellisuuden elementeiksi";
Jokainen näistä elementeistä voidaan esittää tarkasti määritellyllä matemaattisella arvolla.

Lisäksi Bohm huomauttaa, että jos etsitään todisteita EPR-paradoksissa esitetylle käsitteelle, tämän pitäisi johtaa täydellisemmän teorian etsimiseen, joka ilmaistaan esimerkiksi piilomuuttujien teorian muodossa .

Bohmin tärkeä panos tämän paradoksin ratkaisuun on se, että hän ehdotti todellista fyysistä koetta, joka mahdollistaisi mentaalisen EPR-kokeen toteuttamisen tietyssä muodossa , joka perustuu kahteen Stern-Gerlach-suodattimeen , joiden optinen analogi on polarisaattori . jota käytettiin todellisissa kokeissa. Vaikka tuolloin ehdotettu kokeilu oli teknisesti mahdotonta järjestää, siitä huolimatta näytettiin mahdollisuus perustaa todellinen kokeilu testatakseen Einsteinin ja Bohrin filosofisia kantoja.

Kokeen olemus on seuraava: lähde emittoi kaksi fotonia takertuneessa tilassa , joita voidaan kuvata yhtälöllä . Nämä fotonit etenevät vastakkaisiin suuntiin pitkin akselia ja ovat yhteydessä akseleilla ja . Tutkija voi mitata yhden ensimmäisen fotonin spinin komponenteista ( , tai ), mutta enintään yhden koetta kohden. Esimerkiksi hiukkaselle 1 teemme mittauksen akselia pitkin ja saamme siten komponentin . $S$ $|\psi (\nu _{1},\;\nu _{2})\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(|x,\;x\rangle + |y,\;y\rangle )$ $Oz$ $Härkä$ $Oy$ $x$ $y$ $z$ $Härkä$ $x$

Edelleen voidaan käyttää sitä tosiasiaa, että kietoutunutta tilaa ei voida muuttaa kahden tilan tuloksi, jotka liittyvät kunkin fotonin tilaan, eli fotonien itsenäisiin tiloihin (siis esim. tässä kokeessa se on on mahdotonta määrittää tiettyä polarisaatiota jokaiselle osallistuvalle fotonille). Tällainen tila kuvaa täsmälleen objektijärjestelmää kokonaisuutena.

Sitten kietoutumisen vuoksi toisen fotonin spiniä (vääntömomenttia) mitattaessa komponentille tulisi saada päinvastainen arvo . Toisin sanoen saadaan epäsuora mittaus toisesta hiukkasesta, kuten on kuvattu ajatus-EPR-kokeessa. Ja jos tämä olisi totta kaikille mittauksille (eri prosesseille ja mielivaltaisille polarisaattorin suuntakulmille), tämä olisi ristiriidassa Heisenbergin epävarmuusväittämän kanssa, jonka mukaan yhden hiukkasen kahta määrää ei voida mitata luotettavasti. $y$

Toinen tärkeä Bohmin ehdotus oli, että tutkija voisi suunnata laitteen uudelleen mielivaltaiseen suuntaan hiukkasten vielä lentäessä ja siten saada tietyn arvon spinille mihin tahansa valitsemaansa suuntaan. Koska tämä uudelleensuuntaus suoritetaan häiritsemättä toista hiukkasta, niin hyväksymällä Einsteinin fyysisen todellisuuden kriteerin on mahdollista määrittää, saadaanko mittauksen tulos vain itse mittauksen hetkellä (joka vastaa kvantin sijaintia). mekaniikka) tai onko se jo ennalta määritetty ennen mittausta, ja jos piilotetut parametrit, niin tämä olisi mahdollista määrittää luotettavasti, todennäköisyydellä 1.

Selittäessään kvanttikuvauksen vahvistamisen mahdollisia seurauksia tällaisessa kokeessa Bohm kirjoittaa:

... aaltofunktion antama matemaattinen kuvaus ei vastaa yksitellen aineen todellista käyttäytymistä ... kvanttiteoria ei oleta, että maailmankaikkeus on rakennettu tietyn matemaattisen suunnitelman mukaan ... päinvastoin meidän on tultava siihen näkökulmaan, että aaltofunktio on abstraktio, joka antaa matemaattisen heijastuksen tiettyjä todellisuuden puolia, mutta ei yksiselitteistä karttaa siitä. Lisäksi kvanttiteorian moderni muoto osoittaa, että maailmankaikkeutta ei voida saattaa yksitellen vastaamaan minkäänlaisia hyvin määriteltyjä matemaattisia suureita ja että täydellinen teoria vaatii aina yleisempiä käsitteitä kuin hajoamisen käsite. tarkasti määritellyt elementit.

Siten Bohm huomauttaa nimenomaisesti, että kvanttimekaniikka on epätäydellinen teoria siinä mielessä, että se ei voi antaa tiettyä matemaattista arvoa jokaiselle todellisuuden elementille . Vaikka maailmankaikkeus, hänen mielestään, voidaan hajottaa erilaisiksi ja erikseen olemassa oleviksi "todellisuuden elementeiksi".

Kvanttimekaniikan ennusteet EPRB-kokeeseen

Fotonien yksittäisille poikkeamille suuntaan tai toiseen kvanttimekaniikka ennustaa todennäköisyydet (fotonille ) ja todennäköisyydet (fotonille ): $P_{\pm }(a)$ $\nu _{1}$ $P_{\pm }(b)$ $\nu _{2}$

$P_{+}(a)=P_{-}(a)={\frac {1}{2))$

$P_{+}(b)=P_{-}(b)={\frac {1}{2))$

Juuri tämä tulos antaa meille mahdollisuuden sanoa, että emme voi määrittää tiettyä polarisaatiota jokaiselle fotonille, koska jokainen yksittäinen polarisaatiomittaus antaa satunnaisen tuloksen (todennäköisyydellä 1/2).

Polarisaattorien I tai II + tai − -kanavien ja niiden yhteisen havaitsemiseen suuntien ja suuntien kanssa kvanttimekaniikka ennustaa [19] todennäköisyydet : $\nu _{1}$ $\nu _{2}$ $a$ $b$ $P_{\pm \pm }(a,\;b)$

$P_{++}(a,\;b)=P_{--}(a,\;b)={\frac {1}{2))\cos ^{2}(a,\; b),$

$P_{+-}(a,\;b)=P_{-+}(a,\;b)={\frac {1}{2))\sin ^{2}(a,\; b),$

missä on polarisaattorien I ja II välinen kulma. ${\näyttötyyli (a,\;b)}$

Tarkastellaan nyt erikoistapausta, jolloin , eli kun polarisaattorit ovat rinnakkain. Korvaamalla tämän arvon yhtälöihin, saamme: $(a,\;b)=0$

$P_{++}(a,\;b)=P_{--}(a,\;b)={\frac {1}{2))$

$P_{+-}(a,\;b)=P_{-+}(a,\;b)=0$

Mikä tarkoittaa, että jos fotoni havaitaan polarisaattorin I +-kanavassa, niin fotoni havaitaan varmasti polarisaattorin II +-kanavassa (ja vastaavasti -kanaville). Näin ollen rinnakkaisilla kanavilla on täydellinen korrelaatio kahden fotonin polarisaatiomittauksen yksittäisten satunnaisten tulosten ja . $\nu _{1}$ $\nu _{2}$ $\nu _{1}$ $\nu _{2}$

Kätevä mitta satunnaislukujen väliselle korrelaatiolle on korrelaatiokerroin:

$E(a,\;b)=P_{++}(a,\;b)-P_{+-}(a,\;b)-P_{-+}(a,\;b) +P_{--}(a,\;b)$ .

Näin ollen kvanttimekaaniset laskelmat lähtevät siitä oletuksesta, että vaikka jokainen yksittäinen mittaus antaa satunnaisia tuloksia, nämä satunnaiset tulokset korreloivat, ja tietyssä tapauksessa (polarisaattorien yhdensuuntaisille ja kohtisuoralle suunnalle) korrelaatio on täydellinen ( ). $|E(a,\;b)|=1$

Sama seikka antaa aihetta rakentaa täydellisempi teoria piilotetuilla parametreilla , mutta on otettava huomioon, että sen yksinkertaiset tyypit on jo todennettu useissa kokeissa ja niiden tulokset osoittavat, että tällaisia tietyntyyppisiä teoriaa on mahdotonta rakentaa. tällaisia teorioita.

Bellin lause ja sen kokeelliset vahvistukset

Bohmin optinen versio EPR-mentaalikokeesta ja Bellin lause vaikuttivat ratkaisevasti keskusteluun kvanttimekaniikan täydellisyyden mahdollisuudesta. Kysymys ei enää ollut filosofisesta asenteesta, vaan asia tuli mahdolliseksi ratkaista kokeilun avulla.

Jos on mahdollista valmistaa fotonipareja (tai hiukkasia, joiden spin on 1/2; tässä tapauksessa tulee mitata spinien projektiot polarisaation sijaan) sotkeutuneessa tilassa ja mitata neljä koinsidenssilukua ilmaisimien ulostulossa. mittaamalla polarisaattorien (tai Stern-Gerlach-suodattimien) kanavia, voimme saada ja polarisaatiokorrelaatiokertoimen polarisaattoreille, joilla on orientaatiot ja : $N_{\pm \pm }(a,\;b)$ $a$ $b$

$E(a,\;b)={\frac {N_{++}(a,\;b)-N_{+-}(a,\;b)-N_{-+}(a, \;b)+N_{--}(a,\;b)}{N_{++}(a,\;b)+N_{+-}(a,\;b)+N_{-+} (a,\;b)+N_{--}(a,\;b)}}.$

Suorittamalla neljä tämäntyyppistä mittausta orientaatioilla , , ja saadaan mitattu arvo , joka on korvattava Bellin epäyhtälöllä , joka on muotoa . ${\näyttötyyli (a,\;b)}$ ${\näyttötyyli (a,\;b')}$ ${\näyttötyyli (a',\;b)}$ $(a',\;b')$ $S(a,\;a',\;b,\;b')=E(a,\;b)-E(a,\;b')-E(a',\;b) +E(a',\;b')$ $-2\leqslant S(a,\;a',\;b,\;b')\leqslant 2$

Valitsemalla tilanteen, jossa kvanttimekaniikka ennustaa, että tämä suure ei täytä Bellin epäyhtälöjä (esimerkiksi tämä ilmenee maksimaalisesti kulmissa ja arvossa ), saadaan kokeellinen kriteeri, jonka avulla voimme valita kvanttimekaniikan ja jonkin paikallisen teorian välillä, jossa on piilotettu. parametrit. $(a,\;b)=\pm {\frac {\pi }{8}}=22{,}5^{\circ }$ $(a,\;b)=\pm {\frac {3\pi }{8}}=67{,}5^{\circ }$ $S(a,\;a',\;b,\;b')=|2{\sqrt {2}}|\noin \pm 2{,}8284)$

Esimerkiksi A. Aspen [20] parhaanlaatuisessa kokeessa (kaksikanavaisilla polarisaattoreilla ) suurin konfliktiennuste saatiin arvolla , joka on hyvin sopusoinnussa kvanttimekaniikan ennusteiden kanssa, mutta rikkoo Bellin epätasa-arvoa. . $S(a,\;a',\;b,\;b')=2{,}70\pm 0{,}05$

Piilotettujen muuttujien teorioiden mahdollisuus

Kuten edellä todettiin, Bohm ei analysoi toista mahdollista vaihtoehtoa, että universumia ei voida hajottaa erikseen olemassa oleviksi "todellisuuden elementeiksi", mikä on täysin yhdenmukainen nykyaikaisten käsitysten kanssa fyysisen tyhjiön rakenteesta . Ja juuri näistä asennoista on edelleen mahdollista rakentaa piiloparametrien teoria , joka on täydellinen siinä mielessä, että se pystyy sovittamaan jokaisen todellisuuden elementin tietyn matemaattisen arvon kanssa, mutta tämä arvo on yhteys elementtejä, ei itse elementtiä.

Kuten todettiin [21] , kvanttihavaintoja koskevien vaatimusten on vastattava piilomuuttujien teoriassa satunnaismuuttujia, samalla kun säilytetään tietyt toiminnalliset suhteet. Myös kvanttitiloja voidaan pitää klassisen mallin pelkistyksenä asianmukaisesti valituilla rajoituksilla dimensiojoukolle.

Toinen tulkinta, toinen tapa rakentaa piilomuuttujien teoriaa, on muotoiltu sisäisen ajan käsitteeksi , jonka mukaan

fyysinen aika ei ole abstrakti ja yhtenäinen virtaus "jotain", johon "sijoitamme" alkeistapahtumat. Aika (tarkemmin sanottuna aika-avaruus) itse koostuu näistä tapahtumista, mitataan niiden lukumäärällä eikä millään muulla. Voimme sanoa, että aika on diskreetti, koska alkeistapahtumat ovat diskreettejä. [22] [23]

Siten voidaan erottaa kaksi piilomuuttujien teorioiden ryhmää: toinen olettaa havaitsematonta ainetta kolmen tilaulottuvuuden yli, mikä lisää fyysisen maailman ulottuvuuksien määrää, kuten merkkijonoteoriassa tehdään ; toinen ryhmä osoittaa, että aika on oleellisesti riittävä lisäulottuvuus, joka, jos sen virtaus on epätasainen, voi johtaa kvanttiefekteihin. Myös näiden teorioiden yhdistelmä on mahdollinen, jossa oletetaan alipaineen erityisrakennetta, jonka elementit synnyttävät epätasaisen ajankulun, jonka seurauksena havainnoijan tekemät mittaukset johtavat kvanttiefekteihin.

Tällaisia teorioita (ehkä merkkijonoteoriaa lukuun ottamatta ) tutkijoiden akateeminen ohjaus ei pääsääntöisesti ota huomioon, koska niillä ei ole tiukasti matemaattista perustaa eikä myöskään kokeellista näyttöä, jota ei tällä hetkellä voida toimittaa. tekniikan riittämätön tarkkuus. Mutta joitain niistä ei ole tällä hetkellä kiistetty.

Monien maailmojen tulkinta

Selkeän tulkinnan paradoksista antaa monen maailman tulkinta . Hiukkasten tila hiukkasen hajoamisen jälkeen on kvantti superpositio kaikista mahdollisista tiloista, jotka eroavat hiukkasen liikemäärän eri arvoista . DeWittin mukaan tämä voidaan tulkita identtisten ei-vuorovaikutteisten rinnakkaisten universumien tilojen superpositioksi , joista jokainen sisältää "vaihtoehtoisen historian" hiukkasten hajoamisesta ja joille on tunnusomaista oma liikemääränsä . Ennen kuin mittaus on tehty, on mahdotonta määrittää, missä näistä universumeista koe suoritetaan. Mittaushetkellä tapahtuu peruuttamaton "universumien halkeaminen", ja molempien hiukkasten historia ja niiden hajoaminen varmistuvat. Tämän tulkinnan puitteissa hiukkasen mittaus ei vaikuta hiukkasen tilaan , eikä se ole ristiriidassa kausaalisuuden periaatteen kanssa. $A$ $B$ $C$ $A$ $C$ $p_{A}$ $A$ $B$ $A$ $B$

Popularisointi

Suosittua paradoksiviestiä varten D. Mermin ehdottaa yksinkertaisen laitteen rakentamista [24] . Laitteen tulee koostua hiukkaslähettimestä ja kahdesta ilmaisimesta. Kuhunkin säteilee kaksi identtistä hiukkasta. Saatuaan kiinni hiukkasen ilmaisin antaa binäärisen vastauksen (0 tai 1), riippuen hiukkasesta ja sen kolmiasentoisesta virityskytkimestä. Hiukkasparin havaitsemisen pitäisi antaa samat vastaukset

aina kun ilmaisimet ovat samat ja
tilastojen mukaan puolet tapauksista, kun ne konfiguroidaan satunnaisesti.

Ensimmäinen ominaisuus edellyttää, että kaikki ilmaisimet käyttävät samaa koodauskytkimen asentoa ∈ {1, 2, 3} ↦ vaste ∈ {0, 1} ilman satunnaisuuselementtejä. Toisin sanoen heidän on etukäteen sovittava, mikä reaktioista, 0 vai 1, antaa kytkimen asentoon, ja valittava jokaiselle hiukkaselle yksi kahdeksasta mahdollisesta funktiosta: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 ja 111. Valinta 000 tai 111 johtaa 100 %:n täsmäytymiseen ilmaisimen lukemissa, riippumatta viritysnupin asennosta. Jos ilmaisimet toteuttavat yhden kuudesta jäljellä olevasta toiminnosta, yksi numeroista piirretään satunnaisesti konfiguroidulla kytkimellä 2/3 tapauksista ja toinen 1/3 todennäköisyydellä. Todennäköisyys, että kaksi vastausta ovat samat, on (⅔)² + (⅓)² = 5/9. Joten mikä tahansa automaattialgoritmi on, korrelaatio ylittää väistämättä 50%, mikä rikkoo toista vaatimusta.

Mutta koska tällainen kone voidaan silti rakentaa (esimerkiksi asettamalla polarisaattorien paikat 120 °:een, kuten Bohmin kokeessa), ei determinismia (parametreja) voi olla edes piilossa. Sen sijaan vastekorrelaatioita ylläpidetään siirtämällä tietoa yhdestä "mitatusta" hiukkasesta toiseen nopeammin kuin toinen mittaus tapahtuu.

Katso myös

kvanttimittaukset
kvanttisekoittuminen
kvanttiteleportaatio
Bellin epätasa-arvo
Bertlemanin sukat
singlettitila
Objektiivin romahduksen teoria
Von Neumannin pelkistys
digitaalinen fysiikka
Paikallinen piilotettujen muuttujien teoria
Superdeterminismi

Muistiinpanot

↑ Korjattu massan muutoksella hajoamisen aikana - hiukkasten A ja B kokonaismassa voi poiketa hiukkasen C massasta.
↑ Einstein hyökkää kvanttiteoriaa vastaan , The New York Times , 1935-05-04 , < http://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F50711FC3D58167A93C6A9178ED85F418385F9 >
↑ Kuznetsov B. G. Einstein. Elämä. Kuolema. Kuolemattomuus. - 5. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M .: Nauka, 1980. - S. 535-537.
↑ Einstein A. , Podolsky B. , Rosen N. Voidaanko fyysisen todellisuuden kvanttimekaanista kuvausta pitää täydellisenä? (englanniksi) // Phys. Rev. / E. L. Nichols , E. Merritt , F. Bedell , G. D. Sprouse - Lancaster, Pa. : American Physical Societylle, American Institute of Physics , 1935. - Voi. 47, Iss. 10. - P. 777-780. — ISSN 0031-899X ; 1536-6065 - doi:10.1103/PHYSREV.47.777
↑ 1 2 3 Manjit Kumar, 2015 .
↑ Bohr N. Voidaanko fyysisen todellisuuden kvanttimekaanista kuvausta pitää täydellisenä? (englanniksi) // Phys. Rev. : päiväkirja. - 1935. - Voi. 48 , no. 8 . - s. 696-702 . - doi : 10.1103/PhysRev.48.696 .
↑ David Lindley. Mitä vikaa kvanttimekaniikassa on? (englanniksi) // Phys. Rev. Keskity : päiväkirja. - 2005. - Voi. 16 , ei. 10 . (englanniksi.)
↑ Freedman SJ, Clauser JF Paikallisten piilomuuttujien teorioiden kokeellinen testi // Phys. Rev. Lett. 28, 938 (1972).
↑ Pipkin FM :n kvanttimekaniikan peruskäsitteiden atomifysiikan testit (1978).
↑ Fry ES, Thompson RC Paikallisten piilomuuttujien teorioiden kokeellinen testi // Phys. Rev. Lett. 37, 465 (1976).
↑ Alain Aspect. Bellin lause: Kokeellinen naiivi näkemys kokeilijasta // Springer. - 2002. Arkistoitu 12. heinäkuuta 2013.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - 6. painos, tarkistettu. - M .: Fizmatlit , 2004 . – 800 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ Blokhintsev D.I. Kvanttimekaniikan perusteet. - M .: Nauka, 1983. - 664 s. - 19 500 kappaletta.
↑ Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Voimmeko olettaa, että fyysisen todellisuuden kvanttimekaaninen kuvaus on täydellinen? Arkistokopio, päivätty 17. maaliskuuta 2009, Wayback Machine (Russian) UFN , osa 16, v. 4, s. 440 (1934).
↑ Vaikka Fock itse oli vakuuttunut siitä, että Einstein ymmärsi väärin aaltofunktion fyysisen merkityksen, mikä sai Einsteinin päättelemään, että kvanttimekaaninen kuvaus oli epätäydellinen.
↑ A. Einstein, B. Podolsky, V. A. Fok, N. Bohr, N. Rosen Voimmeko olettaa, että fyysisen todellisuuden kvanttimekaaninen kuvaus on valmis? // UFN, osa XVI, numero 4. - 1935. - S. 436-457 .
↑ Filosofiset ongelmat hiukkasfysiikan alalla (kolmekymmentä vuotta myöhemmin) Arkistoitu 2. maaliskuuta 2009 Wayback Machinessa / Ed. Yu. B. Molchanov, Venäjän tiedeakatemia, Filosofian instituutti. - M. , 1994.
↑ Bohm D. Kvanttiteoria, ch. 22, 15 kohta.
↑ Mermin ND Boojums kauttaaltaan: tieteen kommunikointi proosaisella aikakaudella . - Cambridge University Press, 1990. - S. 150. Arkistoitu kopio (linkki ei ole käytettävissä) . Haettu 10. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 10. syyskuuta 2015. (määrätön)
↑ Aspekti A., Grangier P. Resonanssisironnasta ja muista hypoteettisista vaikutuksista Bell-epäyhtälöiden Orsayn atomikaskadikokeissa // Lett. Nuovo Cimento. - 1985. - Voi. 43. - P. 345. - doi : 10.1007/BF02746964 .
↑ Holevo A. S. Kvanttiteorian todennäköisyys- ja tilastolliset näkökohdat Arkistokopio 20. heinäkuuta 2013 Wayback Machinessa
↑ Kurakin P. V. Piilotetut parametrit ja piilotettu aika kvanttiteoriassa, 2004 Arkistokopio 4. kesäkuuta 2009 Wayback Machinessa
↑ https://web.archive.org/web/20120217164322/http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/kurakin_kontseptsia.pdf
↑ Atomi- ja kiinteän olomuodon fysiikan laboratorio, Cornellin yliopisto, Ithaca. New York 14853 (vastaanotettu 19. marraskuuta 1980; hyväksytty 5. tammikuuta 1981) ND Mermin. Atomimaailman tuominen kotiin: kvanttimysteereitä kaikille Arkistoitu 22. kesäkuuta 2007 Wayback Machine Am. J. Phys., Voi. 49, nro 10, lokakuu 1981, s. 943

Kirjallisuus

Bohm D. Kvanttiteoria = Quantum Theory // New York: Prentice Hall. 1989 uusintapainos, New York: Dover, ISBN 0-486-65969-0 . - 1951. Arkistoitu 24. heinäkuuta 2014. , s. 700, luku 12, kohta 15
Blokhintsev D. I. Kvanttimekaniikan perusteet. — M.-L. : GITTL, 1949.
Blokhintsev D. I. Kvanttimekaniikan perusteet - 3. painos. - M .: Korkeakoulu, 1961.
Kumar M. Kvanttitodellisuus (luku 13)//Kvantti: Einstein, Bohr ja suuri keskustelu todellisuuden luonteesta. -M.: AST Corpus, 2015. - 592 s. - (Elementit). -ISBN 978-5-17-088555-8.
Reid MD et ai. Kollokviumi: Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi: Konsepteista sovelluksiin // Katsaukset modernista fysiikasta. - 2009. - Vol. 81 , no. 4 . - P. 1727-1751 . (linkki ei saatavilla) doi : 10.1103/RevModPhys.81.1727
toim. Treder G. Yu. Fysiikan ongelmat: klassikot ja nykyaika. - M .: Mir, 1982. - 328 s.

Linkit

Einstein-Podolsky-Rosen paradoksi . Virtuaalilaboratorio Wiki . on tämän artikkelin perusversion tekijänoikeuksien haltija . Käyttöönottopäivä: 26.6.2009. Arkistoitu alkuperäisestä 24. tammikuuta 2012. (Venäjän kieli)
"Todellisuus ja kvanttien maailma" (venäjä) - luku P. Davisin kirjasta "Supervoima"
Voimmeko olettaa, että fyysisen todellisuuden kvanttimekaaninen kuvaus on valmis? // Artikkeli UFN:ssä (venäjäksi) Käännös venäjäksi Einsteinin, Podolskyn, Rosenin ja Bohrin alkuperäisistä teoksista; V. A. Fockin johdantoartikkeli
Kurakin PV Piilotetut parametrit ja piilotettu aika kvanttiteoriassa . – 2004.
EPR -paradoksi luentomuistiinpanoissa Vyatchanin S. P., Khalili F. Ya. Fundamentals of quantum informatics .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen maailman ympäri Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11975295k GND : 4220769-1 J9U : 987007561363505171 LCCN : sh97003037 SUDOC : 02778505X