Einsteinin sopimus

Tensorianalyysissä , erityisesti yleisen suhteellisuusteorian , elastisuuden ja differentiaaligeometrian sovelluksissa , kirjoitettaessa lausekkeita monikomponenttisuureista, jotka on numeroitu ylä- ja alaindeksillä ( tensorit ), on kätevää käyttää sääntöä, jota kutsutaan Einsteinin sopimukseksi (tunnetaan myös nimellä " Einsteinin summaussääntö "): jos sama kirjain indeksin nimeämisessä esiintyy monomissa sekä ylä- että alapuolella, niin tällaisen monomin oletetaan summautuvan kaikkiin arvoihin, jotka tämä indeksi voi saada. Esimerkiksi lausekkeessa

v_k=a_ib^i_k

indeksi esiintyy sekä ylä- että alapuolella, joten tämän lausekkeen katsotaan vastaavan summaa $i$

v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.

Tarkemmin

v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,

missä on sen tilan ulottuvuus, johon ja määritellään (tässä oletetaan, että koordinaattien numerointi alkaa yhdestä). $n$ $a$ $b$

Indeksiä, jolla summaus suoritetaan, kutsutaan mykistykseksi ; se voidaan korvata millä tahansa kirjaimella, kun taas lausekkeen arvo, johon se syötetään, ei muutu (ilmeisesti ). Jos indeksi ei ole tyhmä ( vapaa indeksi), sen on oltava samassa paikassa (epä)tasa-arvon molemmissa osissa; itse asiassa tässä tapauksessa yksi lauseke on lausekejärjestelmä (yhtälöt tai epäyhtälöt), joiden lukumäärä on yhtä suuri kuin n s , missä s on vapaiden indeksien lukumäärä. Jos esimerkiksi ulottuvuus n = 4 , niin lauseke ${\displaystyle a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j))$

{\displaystyle r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i))

kahdella vapaalla indeksillä k ja l on lyhennetty merkintä 4 2 =16 yhtälöstä, joiden jokaisen oikealla puolella on neljän tuotteen summa:

r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14 }q_{1}^{4};

r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14 }q_{2}^{4};

...

r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44 }q_{4}^{4}.

Jos käytetään fraktioiden muodossa olevia lausekkeita, kuten osittaisjohdannaisia, nimittäjään kirjoitetut yläindeksit katsotaan säännön soveltamisen alaindeksiksi ja päinvastoin; esimerkiksi ilmaisu

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i},

on kirjoitettu muodossa

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i))

tai vielä yksinkertaisemmassa muodossa, kun pilkku ennen indeksiä tarkoittaa osittaista eriyttämistä vastaavan koordinaatin suhteen:

f^{,i}dx_{i}.

Joissakin tapauksissa [1] (jos metrisen tensorin oletetaan aina olevan yhtä suuri kuin δ ik ), ylempää ja alempaa indeksiä kaavoissa ei eroteta. Tässä tapauksessa summaus suoritetaan millä tahansa toistuvien indeksien parilla, jotka esiintyvät samassa tensoritulossa. Esimerkiksi kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$

D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.

Normaalia Einsteinin sopimusta käyttäen pitäisi kirjoittaa . $D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha$

Muistiinpanot

↑ Esimerkiksi elastisuusteoriassa. Katso L. D. Landau ja E. M. Lifshitz, Theoretical Physics. T. VII. Elastisuuden teoria. - M .: Nauka, 1987.