Ensimmäisen asteen ekstrapolaattori

Ensimmäisen kertaluvun ekstrapolaattori on matemaattinen malli näytteistetyn signaalin rekonstruoimiseksi , joka voidaan tuottaa tavanomaisella digitaali-analogiamuuntimella (joka tässä tapauksessa toimii nolla-asteen ekstrapolaattorina ) ja analogisella piirillä ( integraattori ). Tässä tapauksessa signaali palautetaan alun perin digitoidun signaalin palakohtaisena lineaarisena approksimaationa. Verrattuna nolla-asteen ekstrapolaattoriin, ensimmäisen asteen ekstrapolaattorilla on yleensä vähemmän kvantisointikohinaa ja sen vuoksi se rekonstruoi signaalin tarkemmin.

Matemaattinen malli

Olkoon x s ( t ) signaali ennen digitointia ja x ( nT ) signaali digitoinnin jälkeen. Sitten nolla-asteen ekstrapolaattori on suodatin , joka muuntaa täydellisesti digitoidun signaalin | $x_{s}(t)$ $=x(t)\ T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t-nT)\$ $=T\summa _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)\$

paloittain lineaariseksi signaaliksi

x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t- nT}{T}}\oikea)\

ja jolla on impulssinsiirtotoiminto

h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={ \begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\ 0&{\mbox{muutoin}}\end{cases}}\

missä on kolmiofunktio .

\mathrm {tri} (x)\

Ensimmäisen asteen ekstrapolaattorin amplitudi- vaihetaajuusvaste on sen impulssinsiirtofunktion Fourier -muunnos:

$H_{\mathrm {FOH} }(f)$ $={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\oikea)^{2}\$ $=\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$

missä on sinc-funktio .

{\mathrm {sinc}}(x)\

Ensimmäisen asteen ekstrapolaattorin siirtofunktio saadaan muodollisella muutoksella s = i 2 π f :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)$ $={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\oikea)^{2}\$

Ensimmäisen asteen ekstrapolaattori

Matemaattinen malli

Katso myös