Elementaariset matriisimuunnokset

Elementaariset matriisimuunnokset

Elementaariset matriisimuunnokset ovat niitä matriisimuunnoksia , jotka säilyttävät matriisien ekvivalenssin . Näin ollen alkeismuunnokset eivät muuta tämän matriisin edustaman lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisujoukkoa .

Alkumuunnoksia käytetään Gaussin menetelmässä matriisin pelkistämiseen kolmiomaiseen tai porrastettuun muotoon .

Määritelmä

Alkeismerkkijonomuunnoksia kutsutaan:

matriisin minkä tahansa kahden rivin permutaatio;
minkä tahansa matriisin rivin kertominen vakiolla , kun taas matriisin determinanttia kasvatetaan k kertaa; $k$ $k\neq 0$
lisäys toisen rivin matriisin mille tahansa riville kerrottuna jollain vakiolla.

Joillakin lineaarialgebran kursseilla matriisirivien permutaatiota ei eroteta erillisenä alkeismuunnoksena johtuen siitä, että minkä tahansa kahden matriisirivin permutaatio saadaan kertomalla mikä tahansa matriisin rivi vakiolla ja lisäämällä mihin tahansa riviin matriisin toinen rivi kerrottuna vakiolla , . $k$ $k\neq 0$ $k$ $k\neq 0$

Elementaariset sarakemuunnokset määritellään samalla tavalla .

Elementaariset muunnokset ovat palautuvia .

Nimitys osoittaa, että matriisi voidaan saada alkeismuunnoksilla (tai päinvastoin). $A\sim B$ $A$ $B$

Ominaisuudet

Rankin invarianssi alkeismuunnosten alla

Lause ( rankinvarianssista alkeismuunnoksissa ) .
Jos , niin .

A\sim B

\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B

SLAE:n vastaavuus alkeismuunnoksissa

Kutsutaan alkeismuunnoksia lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yli :

yhtälöiden permutaatio;
kerrotaan yhtälö nollasta poikkeavalla vakiolla;
yhden yhtälön lisääminen toiseen kerrottuna jollain vakiolla.

Eli alkeismuunnoksia laajennetun matriisin yli. Sitten seuraava väite pitää paikkansa:

Lause ( yhtälöjärjestelmien vastaavuudesta alkeismuunnoksissa).
Alkuperäisen järjestelmän alkeismuunnoksilla saatu lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä vastaa sitä.

Muista, että kahden järjestelmän sanotaan olevan ekvivalentti, jos niiden ratkaisujoukot ovat samat.

Käänteisten matriisien etsiminen

Lause (käänteismatriisin löytämisestä).
Olkoon matriisin determinantti nollasta poikkeava, olkoon matriisi määritelty lausekkeella . Sitten, kun matriisin rivit muunnetaan elementaarisesti koostumuksen identiteettimatriisiksi , muunnos muotoon tapahtuu samanaikaisesti .

A_{{n\times n}}

B

{\displaystyle B=[A|E]_{n\times 2n))

A

E

B

E

A^{{-1}}

Matriisien pelkistys porrastettuun muotoon

Näytä artikkeli: Porrastettu näkymä riveittäin

Otetaan käyttöön askelmatriisien käsite: Matriisilla on porrastettu muoto , jos:

A

Kaikki matriisin nollarivit ovat viimeisiä; $A$
Jokaiselle matriisin nollasta poikkeavalle riville (olkoon sen määrä definitiivisuuden vuoksi ) seuraava on totta: jos on rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio , niin . $A$ $k$ ${\displaystyle a_{kj))$ $k$ $\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0$

Sitten seuraava väite pitää paikkansa:

Lause (matriisien pelkistämisestä porrastettuun muotoon).
Mikä tahansa matriisi alkeismuunnoksilla vain rivien yli voidaan pelkistää porrastettuun muotoon.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Alkuainematriisi. Matriisi A on alkeis, jos mielivaltaisen matriisin B kertominen sillä johtaa alkeiviin rivimuunnoksiin matriisissa B.

Kirjallisuus

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineaarinen algebra: Oppikirja lukioille . - 6. painos, poistettu. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 s.