N-ryhmä (ryhmäteoria)

N-ryhmä on ryhmä, jonka kaikki paikalliset alaryhmät (eli ei-triviaalien p -alaryhmien normalisoijat ) ovat ratkaistavissa . Thompson luokitteli ratkaisemattomat tapaukset etsiessään kaikkia äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä.

Yksinkertaiset N-ryhmät

Thompson [1] [2] [3] [4] [5] [6] luokitteli yksinkertaiset N-ryhmät kuuden artikkelin sarjaan, joissa on yhteensä noin 400 sivua.

Yksinkertaiset N-ryhmät koostuvat erityisistä lineaarisista ryhmistä , Suzuki-ryhmistä , yhtenäisryhmästä , vuorottelevasta ryhmästä A7 , Mathieu - ryhmästä M11 ja tissiryhmästä . (Tissit-ryhmä jätettiin pois Thompsonin alkuperäisestä paperista vuonna 1968, mutta Hearn huomautti, että se on myös yksinkertainen N-ryhmä). Yleisemmin Thompson osoitti, että mikä tahansa liukenematon N-ryhmä on Aut( G ):n alaryhmä, joka sisältää G : n jollekin yksinkertaiselle N-ryhmälle G. $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)$ $\mathrm {Sz} (2^{2n+1})$ $\mathrm {U} _{3}(3)$

Gorenstein ja Lyons [7] yleistivät Thompsonin lauseen ryhmille, joiden kaikki 2-paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa. Ainoat lisätyt yksinkertaiset ryhmät ovat unitaariset ryhmät U3 ( q ) .

Todiste

Gorenstein [8] antaa yhteenvedon Thompsonin N-ryhmien luokittelusta.

Ryhmäjärjestyksen jakavat alkuluvut on jaettu neljään luokkaan ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4))$

$\pi_{1}$ on joukko alkulukuja p siten, että Sylow p -alaryhmä on ei-triviaali ja syklinen.
$\pi _{2}$ — это множество простых p , таких, что силовская p -подгруппа P является нециклической, но SCN 3 ( P ) пуста
$\pi _{3}$ on joukko alkulukuja p siten, että Sylow p -alaryhmällä P on ei-tyhjä SCN 3 ( P ) ja P normalisoi ei-triviaalin Abelin aliryhmän, jonka kertaluku on koprime p :ään .
${\displaystyle \pi _{4))$ on joukko alkulukuja p siten, että Sylow p -alaryhmällä P on ei-tyhjä SCN 3 ( P ), mutta se ei normalisoi ei-triviaalia Abelin aliryhmää, jonka kertaluku on koprime p :hen .

Todistus on jaettu useisiin tapauksiin riippuen siitä, mihin näistä neljästä luokasta alkuluku 2 kuuluu, sekä kokonaisluvusta e , joka on suurin kokonaisluku, jolle on olemassa alkeis-abelin -alaryhmä arvolla e normalisoituna ei-triviaali 2-alaryhmä.

1968 Thompson [1] antoi yleisen johdannon, jossa todettiin päälause ja todistettiin alustavat lemmat.
1970 Thompson [2] kuvasi ryhmät E 2 (3) ja S 4 (3) (Thompsonin merkinnöissä nämä ovat poikkeuksellinen ryhmä G 2 (3) ja symplektinen ryhmä Sp 4 (3)), jotka eivät ole N- ryhmät, mutta niiden kuvaus on välttämätön päälauseen todistamiseksi.
1971 Thompson [3] käsitteli tapausta . Lause 11.2 osoittaa, että jos ryhmä on ryhmä tai . Mahdollisuus suljetaan pois osoittamalla, että minkä tahansa tällaisen ryhmän on oltava C-ryhmä, ja käyttämällä Suzukin C-ryhmien luokittelua varmistetaan, että mikään Suzukin löytämistä ryhmistä ei täytä tätä ehtoa. ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$ ${\displaystyle 2\in \pi _{2))$ $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {M} _{11},A_{7},\mathrm {U} _{3}(3)$ $\mathrm {PSL} _{3}(3)$ ${\displaystyle 2\in \pi _{3))$
1973 Thompson [4] [5] tarkasteli tapauksia ja tai . Hän osoitti, että joko G on C-ryhmä , joten se on Suzuki-ryhmä, tai se täyttää kuvauksen ryhmistä E 2 (3) ja S 4 (3) toisessa artikkelissaan, jotka eivät ole N-ryhmiä. ${\displaystyle 2\in \pi _{4))$ $e\geqslant 3$ $e=2$
1974 Thompson [5] tarkasteli tapausta ja e =1, jossa ainoa mahdollinen tapaus on, että G on C-ryhmä tai Tits-ryhmä . ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$

Seuraukset

Minimaalinen yksinkertainen ryhmä on ei-syklinen yksinkertainen ryhmä, jonka kaikki oikeat alaryhmät ovat ratkaistavissa. Thompson antoi täydellisen luettelon minimaalisista yksinkertaisista ryhmistä [9]

PSL 2 (2 p ), p on alkuluku.
PSL 2 (3 p ), p on pariton alkuluku.
PSL 2 ( p ), p > 3 prime, verrattavissa 2 tai 3 mod 5:een
Sz(2 p ), p on pariton alkuluku.
PSL 3 (3)

Toisin sanoen ei-syklisillä äärellisillä yksinkertaisilla ryhmillä täytyy olla alitekijä, joka on isomorfinen jollekin näistä ryhmistä.

Muistiinpanot

↑ 12 Thompson , 1968 .
↑ 12 Thompson , 1970 .
↑ 12 Thompson , 1971 .
↑ 12 Thompson , 1973 .
↑ 1 2 3 Thompson, 1974 .
↑ Thompson, 1974b .
↑ Gorenstein, Lyons, 1976 .
↑ Gorenstein, 1980 , s. 16.5.
↑ Thompson, 1968 , s. seuraus 1.

Kirjallisuus

Gorenstein D., Lyons R. Ratkaisemattomia äärellisiä ryhmiä, joissa on ratkaistavissa olevat 2-paikalliset alaryhmät // Journal of Algebra . - 1976. - T. 38 . — S. 453–522 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(76)90233-7 .
Gorenstein D. Rajalliset ryhmät. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
John G. Thompson. Ratkaisemattomat äärelliset ryhmät, joiden kaikki paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1968. - T. 74 . — S. 383–437 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11953-6 .
John G. Thompson. Ratkaisemattomat äärelliset ryhmät, joiden kaikki paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa. II // Pacific Journal of Mathematics . - 1970. - T. 33 . — S. 451–536 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1970.33.451 .
John G. Thompson. Ratkaisemattomat äärelliset ryhmät, joiden kaikki paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa. III // Pacific Journal of Mathematics . - 1971. - T. 39 . — S. 483–534 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1971.39.483 .
John G. Thompson. Ratkaisemattomat äärelliset ryhmät, joiden kaikki paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa. IV // Pacific Journal of Mathematics . - 1973. - T. 48 . — S. 511–592 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1973.48.511 .
John G. Thompson. Ratkaisemattomat äärelliset ryhmät, joiden kaikki paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa. V // Pacific Journal of Mathematics . - 1974. - T. 50 . — S. 215–297 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.50.215 .
John G. Thompson. Ratkaisemattomat äärelliset ryhmät, joiden kaikki paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa. VI // Pacific Journal of Mathematics . – 1974b. - T. 51 . — S. 573–630 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.51.573 .