N-ryhmä (ryhmäteoria)
N-ryhmä on ryhmä, jonka kaikki paikalliset alaryhmät (eli ei-triviaalien p -alaryhmien normalisoijat ) ovat ratkaistavissa . Thompson luokitteli ratkaisemattomat tapaukset etsiessään kaikkia äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä.
Yksinkertaiset N-ryhmät
Thompson [1] [2] [3] [4] [5] [6] luokitteli yksinkertaiset N-ryhmät kuuden artikkelin sarjaan, joissa on yhteensä noin 400 sivua.
Yksinkertaiset N-ryhmät koostuvat erityisistä lineaarisista ryhmistä , Suzuki-ryhmistä , yhtenäisryhmästä , vuorottelevasta ryhmästä A7 , Mathieu - ryhmästä M11 ja tissiryhmästä . (Tissit-ryhmä jätettiin pois Thompsonin alkuperäisestä paperista vuonna 1968, mutta Hearn huomautti, että se on myös yksinkertainen N-ryhmä). Yleisemmin Thompson osoitti, että mikä tahansa liukenematon N-ryhmä on Aut( G ):n alaryhmä, joka sisältää G :
n jollekin yksinkertaiselle N-ryhmälle G.
Gorenstein ja Lyons [7] yleistivät Thompsonin lauseen ryhmille, joiden kaikki 2-paikalliset alaryhmät ovat ratkaistavissa. Ainoat lisätyt yksinkertaiset ryhmät ovat unitaariset ryhmät U3 ( q ) .
Todiste
Gorenstein [8] antaa yhteenvedon Thompsonin N-ryhmien luokittelusta.
Ryhmäjärjestyksen jakavat alkuluvut on jaettu neljään luokkaan
- on joukko alkulukuja p siten, että Sylow p -alaryhmä on ei-triviaali ja syklinen.
- — это множество простых p , таких, что силовская p -подгруппа P является нециклической, но SCN 3 ( P ) пуста
- on joukko alkulukuja p siten, että Sylow p -alaryhmällä P on ei-tyhjä SCN 3 ( P ) ja P normalisoi ei-triviaalin Abelin aliryhmän, jonka kertaluku on koprime p :ään .
- on joukko alkulukuja p siten, että Sylow p -alaryhmällä P on ei-tyhjä SCN 3 ( P ), mutta se ei normalisoi ei-triviaalia Abelin aliryhmää, jonka kertaluku on koprime p :hen .
Todistus on jaettu useisiin tapauksiin riippuen siitä, mihin näistä neljästä luokasta alkuluku 2 kuuluu, sekä kokonaisluvusta e , joka on suurin kokonaisluku, jolle on olemassa alkeis-abelin -alaryhmä arvolla e normalisoituna ei-triviaali 2-alaryhmä.
- 1968 Thompson [1] antoi yleisen johdannon, jossa todettiin päälause ja todistettiin alustavat lemmat.
- 1970 Thompson [2] kuvasi ryhmät E 2 (3) ja S 4 (3) (Thompsonin merkinnöissä nämä ovat poikkeuksellinen ryhmä G 2 (3) ja symplektinen ryhmä Sp 4 (3)), jotka eivät ole N- ryhmät, mutta niiden kuvaus on välttämätön päälauseen todistamiseksi.
- 1971 Thompson [3] käsitteli tapausta . Lause 11.2 osoittaa, että jos ryhmä on ryhmä tai . Mahdollisuus suljetaan pois osoittamalla, että minkä tahansa tällaisen ryhmän on oltava C-ryhmä, ja käyttämällä Suzukin C-ryhmien luokittelua varmistetaan, että mikään Suzukin löytämistä ryhmistä ei täytä tätä ehtoa.
- 1973 Thompson [4] [5] tarkasteli tapauksia ja tai . Hän osoitti, että joko G on C-ryhmä , joten se on Suzuki-ryhmä, tai se täyttää kuvauksen ryhmistä E 2 (3) ja S 4 (3) toisessa artikkelissaan, jotka eivät ole N-ryhmiä.
- 1974 Thompson [5] tarkasteli tapausta ja e =1, jossa ainoa mahdollinen tapaus on, että G on C-ryhmä tai Tits-ryhmä .
Seuraukset
Minimaalinen yksinkertainen ryhmä on ei-syklinen yksinkertainen ryhmä, jonka kaikki oikeat alaryhmät ovat ratkaistavissa. Thompson antoi täydellisen luettelon minimaalisista yksinkertaisista ryhmistä [9]
- PSL 2 (2 p ), p on alkuluku.
- PSL 2 (3 p ), p on pariton alkuluku.
- PSL 2 ( p ), p > 3 prime, verrattavissa 2 tai 3 mod 5:een
- Sz(2 p ), p on pariton alkuluku.
- PSL 3 (3)
Toisin sanoen ei-syklisillä äärellisillä yksinkertaisilla ryhmillä täytyy olla alitekijä, joka on isomorfinen jollekin näistä ryhmistä.
Muistiinpanot
- ↑ 12 Thompson , 1968 .
- ↑ 12 Thompson , 1970 .
- ↑ 12 Thompson , 1971 .
- ↑ 12 Thompson , 1973 .
- ↑ 1 2 3 Thompson, 1974 .
- ↑ Thompson, 1974b .
- ↑ Gorenstein, Lyons, 1976 .
- ↑ Gorenstein, 1980 , s. 16.5.
- ↑ Thompson, 1968 , s. seuraus 1.
Kirjallisuus