Absoluuttinen geometria

Absoluuttinen geometria (tai neutraali geometria ) on osa klassista geometriaa, riippumatta euklidisen aksiomaatiikan viidennestä postulaatista (eli absoluuttisessa geometriassa viides postulaatti voi täyttyä tai ei). Absoluuttinen geometria sisältää ehdotuksia, jotka ovat yhteisiä euklidiselle geometrialle ja Lobatševskin geometrialle [1] [2] .

Termiä ehdotti Janos Bolyai vuonna 1832 [3] . Totta, Bolyai itse asetti siihen hieman erilaisen merkityksen: hän kutsui absoluuttiseksi geometriaksi hänen erityisesti kehittämäänsä symboliikkaa, joka mahdollisti sekä euklidisen geometrian että Lobatševskin geometrian [4] lauseiden yhdistämisen yhdellä kaavalla .

Esimerkkejä absoluuttisen geometrian lauseista

Eukleideen " Prinsiippien " 28 ensimmäistä lausetta viittaavat absoluuttiseen geometriaan. Tässä on lisää esimerkkejä tällaisista teoreemoista [5] :

• Tasakylkisellä kolmiolla on samat kantakulmat.
• Kolmion ulkokulma on suurempi kuin jokainen sisäkulma, joka ei ole sen vieressä.
• Jokaisella kolmiolla on vähintään kaksi terävää kulmaa.
• Kun kaksi suoraa leikkaavat , pystykulmat ovat yhtä suuret.
• Kolmion kahdesta sivusta isompaa vastakkain on suurempi kulma, ja päinvastoin, isompaa sivua vastustaa suurempi sivu.
• Pystysuora (pisteestä suoralle) on lyhyempi kuin vino.
• Kolmion kumpikin sivu on pienempi kuin summa ja suurempi kuin kahden muun sivun erotus.
• Kolmion kulmien summa ei ylitä 180°.

Lauseet, jotka eivät sisälly absoluuttiseen geometriaan

Euklidisen geometrian nykyaikainen aksiomatiikka (kuten Hilbertin aksiomatiikka ) on täydellinen , eli mikä tahansa oikea väite tässä teoriassa voidaan todistaa tai kumota. Absoluuttinen geometria on epätäydellinen: koska viides postulaatti määrittelee homogeenisen avaruuden metriset ominaisuudet , sen puuttuminen absoluuttisessa geometriassa tarkoittaa, että avaruusmetriikkaa ei ole määritelty, ja useimmat mittaukseen liittyvät lauseet (kuten Pythagoraan lause tai kolmion kulmien summa lause ) ei voida todistaa absoluuttisessa geometriassa [6] .

Muita esimerkkejä lauseista, jotka eivät sisälly absoluuttiseen geometriaan:

• Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta [6] .
• Lukuisia vastineita postulaatille V [7]

Muunnelmia ja yleistyksiä

Absoluuttisessa geometriassa rinnakkaiset suorat ovat aina olemassa (katso Euklidesin elementtien lauseet 27 ja 28 , jotka on todistettu tukeutumatta viidenteen postulaattiin), joten pallogeometria , jossa ei ole yhdensuuntaisia ​​viivoja, ei ole yhteensopiva absoluuttisen geometrian kanssa. On kuitenkin mahdollista rakentaa aksiomatiikka, joka yhdistää kaikki kolme ei- euklidisen geometrian tyyppiä (euklidinen, pallomainen ja Lobatševski-geometria) [8] , jolloin absoluuttinen geometria voidaan määritellä niiden yhteiseksi osaksi. Tämä uusi määritelmä on laajempi kuin vanha - esimerkiksi lause "kolmion kulmien summa ei ylitä 180 °" lakkaa olemasta totta.

Muistiinpanot

1. ↑ Absoluuttinen geometria // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1977. - T. 1. - S. 34.
2. ↑ Korkeampi geometria, 1971 , s. 88--89.
3. ↑ Bolai J. Liite Arkistokopio päivätty 21. huhtikuuta 2013 Wayback Machinessa // Geometrian perusteista (artikkelikokoelma), M., GITTL, 1956. Sarja "Luonnontieteen klassikot".
4. ↑ 1800-luvun matematiikka. Osa II: Geometria. Analyyttisten funktioiden teoria / Toim. Kolmogorova A. N. , Juskevitš A. P .. - M .: Nauka, 1981. - S. 64-65. – 270 s.
5. ↑ Korkeampi geometria, 1971 , s. 14, 67 ja sitä seuraavat 89.
6. ↑ 1 2 school-collection.edu.ru .
7. ↑ Katso esimerkiksi: Gunter Ewald . Geometria: johdanto. Wadsworth Publishing. 1. 1971, 399 sivua. ISBN 0534000347 .
8. ↑ Peil, Timothy. Hilbertin aksioomit modifioituna tasoelliptiseen geometriaan  . // Geometrian tutkimus . Haettu 18. lokakuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 19. lokakuuta 2016.

Kirjallisuus

• Hilbert D. Geometrian perusteet. - M. - L .: GITTL, 1948. - 492 s. - (Luonnontieteen klassikot. Matematiikka, mekaniikka, fysiikka, tähtitiede).
• Efimov N. V. Korkeampi geometria. - 7. painos - M .: Fizmatlit, 1971.
  • Uudelleenjulkaisu: 2004, Kustantaja Fizmatlit, ISBN 5-9221-0267-2 .

Linkit

• Absoluuttinen geometria . - liittovaltion portaalissa School-collection.edu.ru. Haettu: 9.11.2018. (määrätön)

Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4193046-0