Ryhmäautomorfismi

Ryhmäautomorfismi on ryhmän bijektiivinen homomorfismi itseensä .

Ryhmän automorfismia kutsutaan sisäiseksi , jos siinä on sellainen elementti , joka (tässä tapauksessa sitä joskus merkitään nimellä ); muuten automorfismia kutsutaan ulkoiseksi. $f$ $G$ $a\in G$ $f(x)=axa^{{-1}}$ $f$ $\alpha_{a}$

Ryhmän automorfismien ryhmää merkitään sisäisten automorfismien joukolla, joka on merkitty Koska on alaryhmä , voidaan myös todistaa, että se on normaali aliryhmä . Osamääräryhmää kutsutaan ryhmän ulkoisten automorfismien ryhmäksi. Kuvaus määrittelee homomorfismin , jonka ydin on ryhmän keskus , joten . Kaikki normaalit alaryhmät ovat invariantteja sisäisten automorfismien vaikutuksesta. Alaryhmiä, jotka ovat invariantteja ryhmän kaikkien automorfismien vaikutuksesta, kutsutaan tunnusomaisiksi . $G$ $\operaattorinimi {Aut}G,$ $\operaattorin nimi {Int}G.$ $\alpha _{g}\alpha _{h}=\alpha _{{hg}},\;\operaattorin nimi {Int}G$ $\operaattorinimi {Aut}G,$ $\operaattorinimi {Out}G=\operaattorinimi {Aut}G/\operaattorinimi {Int}G$ $g\to \alpha _{g}$ $G\to \operaattorin nimi {Int}G$ $Z(G)$ $\operaattorinimi {Int}G\cong G/Z(G)$

Mitä tahansa ryhmää, joka on sama kuin sen automorfismiryhmä, kutsutaan täydelliseksi . Kaikki symmetriset ryhmät ovat täydellisiä . Ryhmän laajennusta automorfismiryhmällä kutsutaan holomorfiksi . $S_{n}$ $n\neq 2;6$

Esimerkkejä

$\operaattorinimi {Aut}{\mathbb {Z}}^{+}={\mathbb {Z}}_{2}$
$\operaattorinimi {Aut}{\mathbb {Q}}^{+}={\mathbb {Q}}^{{\times }}$
${\displaystyle \operaattorinnimi {Aut} (\mathbb {Z} _{n}^{+})=\mathbb {Z} _{n}^{\times ))$ (ryhmä on isomorfinen jäännösrenkaan multiplikatiiviselle ryhmälle ) $\operaattorin nimi {Aut} (\mathbb {Z} _{n})$ $\mathbb {Z} _{n}$
- Erityisesti, jos p on yksinkertainen, (ryhmän automorfismiryhmä on syklinen, jossa on p − 1 elementtiä) $\operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{p}^{+}=\mathbb {Z} _{p}^{\times }=\mathbb {Z} _{p-1}^{ +}$ $\mathbb {Z} _{p}$
$\operaattorinnimi {Aut} S_{n}=\operaattorinnimi {Int} S_{n}=S_{n},n\neq 2,6;\;\operaattorinnimi {Out} S_{6}=\mathbb { Z} _{2},\;\operaattorinnimi {Aut} S_{6}=S_{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
Jos on kenttä, jonka ominaisuus on suurempi kuin kaksi, niin $K$ $\operaattorin nimi {Aut}\operaattorin nimi {GL}_{n}(K)=\operaattorin nimi {SL}_{n}(K).$
Kaikkien ykseyden potenssien kompleksisten juurien joukon automorfismiryhmä on p -adisten lukujen yhteenlaskettu ryhmä. $p^{n}$
Vapaan rajallisen ryhmän ulkoisten automorfismien ryhmä generoidaan kantaelementtien Nielsen-muunnoksilla .
Lie-ryhmän automorfismien joukko muodostaa myös valheryhmän. [yksi]

Muistiinpanot

↑ L. S. Pontryagin Jatkuvat ryhmät s. 121