Automorfinen toiminto

Automorfinen funktio on funktio , joka on analyyttinen jossain toimialueessa ja tyydyttää suhteen tällä alueella , jossa on jonkin kompleksisen tason lineaaristen murto-osien muunnosten ryhmän laskettavan aliryhmän elementti. $f$ $G\subset \mathbb {C}$ $f(g(z))=f(z)$ $g$

Historia

Automorfisten funktioiden luokan, joka yleistää elliptisten funktioiden luokan , esitteli ja tutki ranskalainen matemaatikko Henri Poincaré 1880-luvulla.

Koko 1800-luvun käytännöllisesti katsoen kaikki merkittävät matemaatikot Euroopassa osallistuivat elliptisten funktioiden teorian kehittämiseen, mikä osoittautui erittäin hyödylliseksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa . Nämä funktiot eivät kuitenkaan täysin perustelleet niille asetettuja toiveita, ja monet matemaatikot alkoivat pohtia, olisiko mahdollista laajentaa elliptisten funktioiden luokkaa siten, että uudet funktiot soveltuisivat niihin yhtälöihin, joissa elliptiset funktiot ovat hyödyttömiä.

Poincaré löysi tämän ajatuksen ensimmäisen kerran Lazar Fuchsin artikkelista , joka oli noiden vuosien merkittävin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden asiantuntija ( 1880 ). Useiden vuosien aikana Poincaré kehitti Fuchsin ideaa pitkälle luoden teorian uudesta funktioluokasta, jota hän tavanomaisella välinpitämättömyydellä Poincarén kannalta tärkeiden kysymysten suhteen ehdotti kutsuvaksi fuksialaisiksi funktioiksi ( ranska les fonctions fuchsiennes ) - vaikka hänellä oli kaikki syyt antaa tälle luokalle oma nimensä. Tapaus päättyi siihen, että Felix Klein ehdotti nimeä "automorfiset funktiot", joka vakiintui tieteeseen [1] . Poincaré päätteli näiden funktioiden laajenemisen sarjoiksi ja todisti summauslauseen. Näitä löytöjä "voidaan oikeutetusti pitää kompleksisen muuttujan analyyttisten funktioiden teorian koko kehityksen huippuna 1800-luvulla" [2] .

Kehittäessään automorfisten funktioiden teoriaa Poincaré löysi niiden yhteyden Lobatševskin geometriaan , mikä antoi hänelle mahdollisuuden esittää monia kysymyksiä näiden funktioiden teoriasta geometrisella kielellä. Hän julkaisi visuaalisen mallin Lobatševskin geometriasta , jolla hän kuvasi materiaalia funktioteoriasta.

Poincarén työn jälkeen elliptiset funktiot muuttuivat tieteen ensisijaisesta suunnasta rajoitetuksi erikoistapaukseksi tehokkaammasta yleisteoriasta. 1900-luvulla Poincaren tulokset laajennettiin koskemaan useiden muuttujien funktioita (ks. esim. modulaariset funktiot ). Automorfisten funktioiden luokkaa ( automorfiset muodot ) on yritetty yleistää edelleen .

Sovellus

Automorfisia funktioita käytetään laajasti monilla eksaktien tieteiden alueilla [3] . Erityisesti:

Niiden avulla voit ratkaista minkä tahansa lineaarisen differentiaaliyhtälön algebrallisilla kertoimilla.
Algebrallisten käyrien yhtenäistämismahdollisuus on todistettu , eli niiden esittäminen automorfisten funktioiden kautta. Tämä on 22. Hilbertin ongelma , jonka Poincaré ratkaisi vuonna 1907 .
Tämän teorian menetelmiä sovelletaan tehokkaasti algebrallisessa geometriassa , algebrallisten ryhmien teoriassa, lajikkeiden teoriassa ja jopa lukuteoriassa .

Kirjallisuus

Golubev VV Yksiarvoiset analyyttiset funktiot. Automorfiset funktiot . Moskova: Fizmatlit, 1961.
Klein F. Luennot matematiikan kehityksestä 1800-luvulla . Osa I, luku 8. M.-L.: GONTI, 1937. 432 s.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.). 1800-luvun matematiikka, kolme osaa. - M .: Nauka, 1978-1987. - T. 2.
Poincare A. Valitut teokset, kolme osaa. Osa 3. M .: Nauka, 1971-1974.
Ford L. P., Automorfiset toiminnot, käännös. englannista, M.-L., 1936;
Shimura G. Johdatus automorfisten funktioiden aritmeettiseen teoriaan. M.: Mir, 1973.
Golubev VV Luennot differentiaaliyhtälöiden analyyttisestä teoriasta. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 s.

Linkit

Silvestrov VV Automorfiset funktiot - jaksollisten funktioiden yleistys // Soros Educational Journal. - 2000. - Nro 3 . - S. 124-127 .

Muistiinpanot

↑ Poincare A. Valitut teokset kolmessa osassa, asetus. op. - T. 3. - S. 690-695.
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.). 1800-luvun matematiikka. asetus. op. - T. 2. - S. 247.
↑ Silvestrov V. V. Automorfiset funktiot - jaksollisten funktioiden yleistys // Soros Educational Journal. - 2000. - Nro 3 . - S. 124-127 .