Autoregressiivinen malli

Autoregressiivinen ( AR- ) malli ( englanniksi autoregressive model ) on aikasarjamalli , jossa aikasarjan arvot tällä hetkellä riippuvat lineaarisesti saman sarjan aikaisemmista arvoista. Autoregressiivinen prosessi kertaluvun p (AR( p )-prosessi) määritellään seuraavasti

X_{t}=c+\sum _{{i=1}}^{p}a_{i}X_{{ti}}+\varepsilon _{t},

missä ovat mallin parametrit (autoregressiokertoimet), on vakio (oletetaan usein nollaksi yksinkertaisuuden vuoksi) ja on valkoinen kohina . $a_{1},\ldots ,a_{p}$ $c$ $\varepsilon _{t}$

Yksinkertaisin esimerkki on ensimmäisen asteen autoregressiivinen AR(1)-prosessi:

X_{t}=c+rX_{{t-1}}+\varepsilon _{t}

Tässä prosessissa autoregressiivinen kerroin on sama kuin ensimmäisen asteen autokorrelaatiokerroin.

Toinen yksinkertainen prosessi on Yule-prosessi, AR(2)-prosessi:

X_{t}=c+a_{1}X_{{t-1}}+a_{2}X_{{t-2}}+\varepsilon _{t}

Operaattorin esitys

Jos otamme käyttöön viiveoperaattorin , niin autoregressiivinen malli voidaan esittää seuraavasti $L:Lx_{t}=x_{{t-1}}$

X_{t}=c+\sum _{{i=1}}^{p}a_{i}L^{i}X_{{t}}+\varepsilon _{t},

tai

a(L)X_{t}=(1-\sum _{{i=1}}^{p}a_{i}L^{i})X_{{t}}=c+\varepsilon _{t}

Autoregressiivisen prosessin stationaarisuus riippuu ominaispolynomin juurista . Jotta prosessi olisi paikallaan [1] , riittää, että karakteristisen polynomin kaikki juuret ovat kompleksitasossa yksikköympyrän ulkopuolella . $a(z)=1-\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}z^{i}$ $|z|>1$

Erityisesti AR(1)-prosessissa tämän polynomin juuri , joten stationaarisuusehto voidaan kirjoittaa muodossa , eli autoregressiokertoimen (tässä tapauksessa autokorrelaatiokertoimen) on oltava tiukasti pienempi kuin 1 modulo . $a(z) = 1-rz$ $z = 1/r$ $|r|<1$

AR(2)-prosessille voidaan osoittaa, että stationaarisuusehdot ovat muotoa: . $|a_{2}|<1,a_{2}\pm a_{1}<1$

Kiinteät AR-prosessit mahdollistavat Wold-hajoamisen - esityksen äärettömän MA-prosessin muodossa :

$X_{t}=a^{{-1}}(L)c+a^{{-1}}(L)\varepsilon _{t}={\frac {c}{1-\sum _{{ i=1}}^{p}a_{i}}}+\sum _{{j=0}}^{{\infty }}b_{j}\varepsilon _{{tj}}$

Ensimmäinen termi on AR-prosessin matemaattinen odotus. Jos c=0, niin prosessin odotusarvo on myös nolla.

Autokorrelaatiofunktio

Voidaan osoittaa, että AR(p)-prosessin autokovarianssi- ja autokorrelaatiofunktiot täyttävät rekursiiviset suhteet:

$\gamma (k)=\summa _{{j=1}}^{p}a_{j}\gamma (kj)~~~~~r(k)=\summa _{{j=1}}^ {p}a_{j}r(kj)$

AR(1)-prosessin yksinkertaisimmassa tapauksessa keskiarvo on , varianssi on , ja autokorrelaatio on . $\mu =c/(1-r)$ $\gamma (0)=\sigma _{\varepsilon }^{2}/(1-r^{2})$ $r(k)=r\cdot r(k-1)~\Nuoli oikealle ~r(k)=r^{k}$

Yleisessä tapauksessa matemaattisen odotuksen lauseke malliparametrien kautta esitettiin yllä, mutta aikasarjan hajonnan lauseke on paljon monimutkaisempi. Voidaan osoittaa, että sarjan varianssi ja autokovarianssivektori ilmaistaan parametrein seuraavasti: ${\näyttötyyli \gamma (0)}$ $\gamma$

${\displaystyle \gamma (0)=(1+a^{T}(C-aa^{T})^{-1}a)\sigma _{\varepsilon }^{2))$ , $\gamma =\sigma _{\varepsilon }^{2}(C-aa^{T})^{-1}a$

missä on parametrivektori, on järjestysmatriisi , jonka alkiot määritellään seuraavasti. Diagonaaliset elementit ovat yhtä suuret . Lävistäjän yläpuolella olevat elementit ovat yhtä suuret ja diagonaalin alapuolella olevat elementit ovat yhtä suuret . Tässä ymmärretään, että jos indeksi ylittää mallin järjestyksen , niin vastaava arvo asetetaan nollaan. $a$ $C$ $s$ ${\displaystyle c_{ii}=1-a_{2i))$ $-a_{2i+j-1}$ $-(a_{j}+a_{2i-j})$ $s$

Erityisesti AR(1)-prosessissa matriisi on vain yksi, joten , joka vastaa yllä olevaa kaavaa. $C$ $\gamma (0)=(1+{\frac {a^{2}}{1-a^{2}}})\sigma _{\varepsilon }^{2}$

-Prosessille toisen kertaluvun matriisi - määritellään seuraavasti: ensimmäinen rivi on ( ;0), toinen on ( ;1). Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saat seuraavan lausekkeen tämän prosessin varianssille: $AR(2)$ $C$ $1-a_{2}$ $-a_{1}$

$\gamma (0)={\frac {(1-a_{2})\sigma _{\varepsilon }^{2}}{(1+a_{2})((1-a_{2} )^{2}-a_{1}^{2})}}$

Käytännössä malliparametreilla ilmaistuja prosessivarianssin kaavoja ei yleensä käytetä, vaan kovariansseina käytetään seuraavaa lauseketta:

$\gamma (0)=\sigma _{\varepsilon }^{2}+\sum _{k=1}^{p}a_{k}\gamma (k)$

Autoregressiivisen prosessin autokorrelaatiofunktio vaimenee eksponentiaalisesti mahdollisten värähtelyjen kanssa (värähtelyt riippuvat ominaispolynomin kompleksisten juurien läsnäolosta). Tässä tapauksessa k>p:n osittainen autokorrelaatiofunktio on yhtä suuri kuin nolla. Tätä ominaisuutta käytetään tunnistamaan AR-mallin järjestys aikasarjan otoksen osittaisesta autokorrelaatiofunktiosta.

AR(1)-prosessissa autokorrelaatiofunktio on eksponentiaalisesti vaimeneva funktio (ilman värähtelyjä), jos stationaarisuusehto täyttyy. Ensimmäisen kertaluvun osittainen autokorrelaatiofunktio on r ja korkeampien kertalukujen osalta 0.

Mallin parametrien estimointi

Ottaen huomioon autokorrelaatiofunktion pariteetin ja käyttämällä toistuvuusrelaatiota ensimmäisille p autokorrelaatioille, saadaan Yule-Walker yhtälöjärjestelmä [2] :

$1\leqslant k\leqslant p~,~\sum _{{j=1}}^{p}a_{j}r(|kj|)=r(k)$

tai matriisimuodossa

$Ra=r~,~\Rightarrow a=R^{{-1}}r~,~~R={\begin{pmatrix}1&r_{1}&r_{2}&...&r_{{p-1} }\\r_{1}&1&r_{1}&...&r_{{p-2}}\\r_{2}&r_{1}&1&...&r_{{p-3}}\\... \\r_{{p-1}}&r_{{p-2}}&r_{{p-3}}&...&1\\\end{pmatrix}}$

Jos käytämme näyteautokorrelaatioita todellisten (tuntemattomien) autokorrelaatioiden sijaan, saamme estimaatteja tuntemattomista autoregressiokertoimista. Tämän estimointimenetelmän voidaan osoittaa vastaavan tavallista pienimmän neliösumman menetelmää (OLS) . Jos mallin satunnaisvirheet jakautuvat normaalisti, niin tämä menetelmä vastaa myös ehdollista maksimitodennäköisyysmenetelmää . Tarkempien arvioiden saamiseksi jälkimmäisessä tapauksessa voidaan käyttää full maximum likelihood -menetelmää, joka käyttää tietoa sarjan ensimmäisten jäsenten jakautumisesta. Esimerkiksi AR(1)-prosessin tapauksessa ensimmäisen termin jakauman katsotaan olevan yhtä suuri kuin aikasarjan ehdoton jakauma (normaalijakauma, jossa on matemaattinen odotus ja sarjan ehdoton varianssi).

Kausiluonteiset autoregressiiviset mallit

AR-malleja voidaan käyttää kausiluonteisuuden mallintamiseen. Tällaisten mallien nimi on SAR (Seasonal AR). Esimerkiksi neljännesvuosittaisten tietojen perusteella ja olettaen neljännesvuosittaisen kausivaihtelun voitaisiin rakentaa seuraava SAR(4)-malli:

$y_{t}=a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}$

Itse asiassa tämä on tavallinen AR-malli, jonka malliparametreja on rajoitettu (parametrit, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla, jos viive on alle 4). Käytännössä kausiluontoisuus voidaan yhdistää tavanomaiseen autoregressioon, esimerkiksi:

$y_{t}=a_{1}y_{{t-1}}+a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}$

Joissakin tapauksissa kausittaiset mallit ovat hyödyllisiä, joissa satunnainen virhe on jonkin AR-prosessin alainen:

$y_{t}=a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}~,~\varepsilon _{t}=a_{1}\varepsilon _{{t-1}}+u_ {t}$

On helppo nähdä, että tällainen malli operaattorimuodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$(1-a_{1}L)(1-a_{4}L^{4})y_{t}=u_{t}$

Tällaista mallia kutsutaan ns. $AR(1)\ kertaa SAR(4)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Erotusyhtälö ja toistuva sekvenssi . Haettu 18. heinäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 21. heinäkuuta 2015. (määrätön)
↑ Markovin sekvenssit (pääsemätön linkki) . Haettu 18. heinäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 21. heinäkuuta 2015. (määrätön)