Autoregressiivinen malli - Liukuva keskiarvo

Autoregressiivinen liikkuva keskiarvomalli (ARMA ) on yksi matemaattisista malleista , joita käytetään tilastojen stationääristen aikasarjojen analysointiin ja ennustamiseen . ARMA-malli yleistää kaksi yksinkertaisempaa aikasarjamallia - autoregressiivisen (AR) mallin ja liikkuvan keskiarvon (MA) mallin.

Määritelmä

ARMA( p , q )-malli, jossa p ja q ovat kokonaislukuja, jotka määrittävät mallin järjestyksen, on seuraava aikasarjan luontiprosessi : $\{X_{t}\}$

X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q }\beta _{i}\varepsilon _{ti}

jossa on vakio, on valkoinen kohina , eli sarja riippumattomia ja identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia (yleensä normaali ), joiden keskiarvo on nolla, ja ovat reaalilukuja , autoregressiivisiä kertoimia ja vastaavasti liukuvan keskiarvon kertoimia. $c$ $\{\varepsilon _{t}\}$ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p}$ $\beta _{1},\ldots ,\beta _{q}$

Tällainen malli voidaan tulkita lineaariseksi moniregressiomalliksi , jossa selittävät muuttujat ovat itse riippuvaisen muuttujan aikaisempia arvoja ja valkokohinaelementtien liukuvia keskiarvoja käytetään regressiojäännöksenä . ARMA-prosesseilla on monimutkaisempi rakenne verrattuna vastaaviin AR- tai MA-prosesseihin puhtaassa muodossaan, mutta ARMA-prosesseille on ominaista vähemmän parametreja, mikä on yksi niiden eduista [1] .

Operaattorin edustus. Stationaarisuus ja yksikköjuuret

Jos otamme huomioon viiveoperaattorin , niin ARMA-malli voidaan kirjoittaa seuraavasti $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

X_{t}=c+(\sum _{{i=1}}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}+(1+\sum _{{i=1} }^{q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}

tai siirtämällä autoregressiivinen osa yhtälön vasemmalle puolelle:

(1-\sum _{{i=1}}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}=c+(1+\sum _{{i=1}}^{ q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}

Ottamalla käyttöön lyhennetyt merkinnät vasemman ja oikean osan polynomeille , voimme vihdoin kirjoittaa:

\alpha (L)X_{t}=c+\beta (L)\varepsilon _{t}

Jotta prosessi olisi paikallaan, on välttämätöntä, että autoregressiivisen osan ominaispolynomin juuret sijaitsevat kompleksitasossa yksikköympyrän ulkopuolella (niiden tulee olla tiukasti suurempia kuin yksikkö absoluuttisena arvona). Kiinteä ARMA-prosessi voidaan esittää äärettömänä MA-prosessina: $\alpha (z)$

X_{t}=\alpha ^{{-1}}(L)c+\alpha ^{{-1}}(L)\beta (L)\varepsilon _{t}=c/a(1)+\ summa _{{i=0}}^{{\infty }}c_{i}\varepsilon _{{ti}}

Esimerkiksi prosessi ARMA(1,0)=AR(1) voidaan esittää äärettömän kertaluvun MA-prosessina, jossa on pienenevän geometrisen etenemisen kertoimet :

X_{t}=c/(1-a)+\sum _{{i=0}}^{{\infty }}a^{i}\varepsilon _{{ti}}

Siten ARMA-prosesseja voidaan pitää äärettömän järjestyksen MA-prosesseina tietyin kertoimien rakenteen rajoituksin. Pienellä määrällä parametreja ne mahdollistavat melko monimutkaisen rakenteen prosessien kuvaamisen. Kaikki kiinteät prosessit voidaan mielivaltaisesti approksimoida tietyn kertaluokan ARMA-mallilla käyttämällä huomattavasti pienempää määrää parametreja kuin vain MA-malleja käytettäessä.

Ei-kiinteä (integroitu) ARMA

Autoregressiivisen polynomin yksikköjuurten läsnä ollessa prosessi on ei-stationaarinen. Yksittä pienempiä juuria ei oteta huomioon käytännössä, koska ne ovat luonteeltaan räjähtäviä prosesseja. Näin ollen aikasarjojen stationaarisuuden tarkistamiseksi yksi perustesteistä on yksikköjuurten testit . Jos testit vahvistavat yksikköjuuren olemassaolon, analysoidaan alkuperäisten aikasarjojen erot ja rakennetaan ARMA-malli tietyn kertaluokan erojen kiinteälle prosessille (yleensä riittää ensimmäinen, joskus toinen). Tällaisia malleja kutsutaan ARIMA-malleiksi (integroitu ARMA) tai Box-Jenkins-malleiksi. ARIMA(p, d, q) malli, jossa d on integroinnin järjestys (alkuperäisen aikasarjan erojen järjestys), p ja q ovat ARMA-prosessin erojen AR- ja MA-osien järjestys. d:nnen järjestyksen, voidaan kirjoittaa seuraavalla operaattorilomakkeella

\alpha (L)\vartriangle ^{d}X_{t}=c+\beta (L)\varepsilon _{t}~,~~~\vartriangle =1-L

Prosessi ARIMA(p, d, q) vastaa prosessia ARMA(p+d, q), jonka yksikköjuuret ovat d.

Mallin rakentaminen

ARMA-mallin rakentamiseksi havaintojen sarjan perusteella on tarpeen määrittää mallin järjestys (luvut p ja q ) ja sitten itse kertoimet. Mallin järjestyksen määrittämiseen voidaan käyttää aikasarjan ominaisuuksien, kuten sen autokorrelaatiofunktion ja osittaisen autokorrelaatiofunktion , tutkimusta . Kertoimien määrittämiseen käytetään menetelmiä, kuten pienimmän neliösumman menetelmä ja maksimitodennäköisyysmenetelmä .

ARMAX mallit

Joitakin eksogeenisiä x-tekijöitä voidaan lisätä klassisiin ARMA-malleihin. Lisäksi yleensä malli ei sisällä vain näiden tekijöiden nykyarvoja, vaan myös viivearvoja. Tällaisia malleja kutsutaan yleisesti nimellä ARMAX(p, q, k), jossa k on eksogeenisten tekijöiden viiveiden lukumäärä. Operaattorimuodossa tällaiset mallit voidaan kirjoittaa seuraavasti (yksi eksogeeninen tekijä)

$a(L)y_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t}+d(L)x_{t}$

missä a(L), b(L), d(L) ovat polynomeja, jotka ovat luokkaa p, q, k, vastaavasti viiveoperaattorissa.

Tällaisia malleja voidaan tulkita eri tavalla ADL(p, k) -malleiksi, joissa on satunnaisvirheitä MA(q).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Dubrova T.A. . - Moskova: UNITY-DANA, 2003. - ISBN 5-238-00497-4 .