ARIMA

ARIMA ( englanniksi autoregressiivinen integroitu liukuva keskiarvo , joskus Box-Jenkins-malli, Box-Jenkins- metodologia ) on integroitu autoregressiivinen liukuva keskiarvomalli - malli ja metodologia aikasarjaanalyysiin . Se on ARMA -mallien laajennus ei-stationaarisille aikasarjoille, jotka voidaan tehdä stationääriseksi ottamalla jonkin verran eroja alkuperäisestä aikasarjasta (ns. integroidut tai differentiaalistationaariset aikasarjat). Malli tarkoittaa, että tilauksen aikasarjojen erot seuraavat mallia . ${\näyttötyyli ARIMA(p,d,q)}$ $d$ $ARMA(p,q)$

Mallin muodollinen määritelmä

Ei-stationaarisen aikasarjan malli on muotoa: ${\näyttötyyli ARIMA(p,d,q)}$ $X_{t}$

\triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\kolmio ^{d}X_{ti}+\sum _{j=1} ^{q}b_{j}\varepsilon _{tj}+\varepsilon _{t}

missä on stationäärinen aikasarja; $\varepsilon _{t}$

{\displaystyle c,a_{i},b_{j))

ovat malliparametreja.

{\näyttötyyli \kolmio ^{d))

— kertaluvun d aikasarjaerooperaattori (ensimmäisen kertaluvun erojen peräkkäinen d kertaa - ensin aikasarjasta, sitten saaduista ensimmäisen kertaluvun eroista, sitten toisen kertaluvun eroista jne.)

Myös tämä malli tulkitaan - malliksi, jolla on yksikköjuuret . , meillä on tavalliset -mallit . ${\näyttötyyli ARMA(p+d,q)}$ $d$ $d = 0$ $ARMA$

Operaattorin esitys

Käyttämällä viiveoperaattoria mallitiedot voidaan kirjoittaa seuraavasti: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d} X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}

tai lyhyesti:

{\displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t))

missä ${\displaystyle a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i))$

b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}

Esimerkki

Yksinkertaisin esimerkki ARIMA-mallista on tuttu satunnainen kävelymalli:

{\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t))

Siksi tämä on malli . ${\näyttötyyli ARIMA(0,1,0)}$

Integroitu aikasarja

ARIMA-malleilla voit mallintaa integroituja tai erostationaarisia aikasarjoja ( DS-sarja , differente stationary).

Aikasarjaa kutsutaan integroiduksi järjestykseksi (yleensä kirjoitettu ), jos järjestyssarjan erot eli ovat stationäärisiä, kun taas pienemmän kertaluvun erot (mukaan lukien nollajärjestys eli itse aikasarja) eivät ole stationäärisiä suhteessa joihinkin trendisarjoihin (TS-sarja, trendi paikallaan). Erityisesti tämä on kiinteä prosessi. $X_{t}$ $k$ $X_{t}\sim I(k)$ $k$ ${\näyttötyyli \kolmio ^{k}x_{t))$ $minä(0)$

Aikasarjojen integrointijärjestys on mallin järjestys . $d$ ${\näyttötyyli ARIMA(p,d,q)}$

ARIMA (Box-Jenkins) metodologia

ARIMA-lähestymistapa aikasarjoihin on, että sarjan stationaarisuus arvioidaan ensin. Erilaiset testit paljastavat yksikköjuurien olemassaolon ja aikasarjojen integrointijärjestyksen (yleensä rajoitetaan ensimmäiseen tai toiseen järjestykseen). Lisäksi tarvittaessa (jos integrointijärjestys on suurempi kuin nolla) sarja muunnetaan ottamalla vastaavan järjestyksen erotus, ja jo muunnetulle mallille rakennetaan jokin ARMA-malli, koska oletetaan, että tuloksena oleva prosessi on paikallaan, toisin kuin alkuperäinen ei-stationaarinen prosessi (ero-stationaarinen tai integroitu tilausprosessi ). $d$

ARFIMA mallit

Teoriassa aikasarjojen integrointijärjestys ei välttämättä ole kokonaisluku, vaan murto-osa. Tässä tapauksessa puhutaan murto-osa integroiduista autoregressiivisistä malleista - liukuva keskiarvo (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Murto-osaintegraation olemuksen ymmärtämiseksi on tarpeen harkita operaattorin laajennusta, joka ottaa potenssisarjan -:nnen eron viiveoperaattorin potenssien murto-osaa varten ( Taylor-sarjan laajennus ): $d$ $d$ $d$

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(dj) {\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

Kirjallisuus

Ayvazyan S.A. Sovelletut tilastot. Ekonometriikan perusteet. Osa 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. Alkukurssi. - M . : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometria. Oppikirja / Toim. Eliseeva I. I. - 2. painos - M. : Talous ja tilastot, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen Britannica (verkossa)