Algebrallinen riippumattomuus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. huhtikuuta 2014 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Algebrallinen riippumattomuus on käsite kenttälaajennusten teoriasta .

Olkoon kentän laajennus . Elementtejä kutsutaan algebrallisesti riippumattomiksi, jos mielivaltaiselle ei-identtiselle nollapolynomille , jonka kertoimet ovat peräisin kentästä $L$ $K$ $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $P(x_{1},\ldots,x_{n})$ $K$

P(\alpha _{1},\pisteet ,\alpha _{n})\neq 0

Muuten elementtejä kutsutaan algebrallisesti riippuviksi. Ääretöntä elementtijoukkoa kutsutaan algebrallisesti riippumattomaksi, jos jokainen sen äärellinen osajoukko on riippumaton, ja muuten sitä kutsutaan riippuvaiseksi. Algebrallisen riippumattomuuden määritelmää voidaan laajentaa tapaukseen, jossa on rengas ja sen alirengas . $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $L$ $K$

Tunnettujen vakioiden algebrallinen riippumattomuus

Olkoon vakiot ja tiedossa olevan transsendenttisia, mutta ei tiedetä, onko niiden joukko algebrallisesti riippumaton yli . [1] Ei edes tiedetä, onko . [2] Nesterenko osoitti vuonna 1996, että: $e$ $\pi$ $\mathbb {Q}$ ${\näyttötyyli \pi +e}$

numerot , ja ovat algebrallisesti riippumattomia yli ; [3] $\pi$ $e^{{\pi ))$ $\Gamma (1/4)$ $\mathbb {Q}$
numerot ja ovat algebrallisesti riippumattomia yli ; $e^{{\pi {\sqrt {3))))$ $\Gamma (1/3)$ $\mathbb {Q}$
kaikkien positiivisten kokonaislukujen luvut ovat algebrallisesti riippumattomia yli ; [neljä] $n$ $e^{{\pi {\sqrt {n))))$ $\mathbb {Q}$

Esimerkki

Reaalilukukentän osajoukko ei ole algebrallisesti riippumaton kentästä, koska polynomi on ei-triviaali rationaalisilla kertoimilla ja . $\{{\sqrt {\pi ));2\pi +1\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ $P({\sqrt {\pi )),2\pi +1)=0$

Katso myös

Lindemann-Weierstrassin lause

Linkit

Chen, Johnny. Algebraically Independent (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Muistiinpanot

↑ Patrick Morandi. Fieldin ja Galois'n teoria . - Springer, 1996. - s. 174. - ISBN 978-0-387-94753-2 . Arkistoitu 8. lokakuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Green, Ben (2008), III.41 Irrationaaliset ja transsendenttiset numerot, teoksessa Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, s. 222
↑ Manin, Yu. I. Johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan / Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin. — Toiseksi. - 2007. - Voi. 49. - s. 61. - ISBN 978-3-540-20364-3 .
↑ Nesterenko, Juri V (1996). "Moduulifunktiot ja transsendenssiongelmat". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 322 (10): 909-914.