Alikvoottisekvenssi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. lokakuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matematiikassa alikvoottisekvenssi on rekursiivinen sekvenssi , jossa kukin termi on edellisen termin oikeiden jakajien summa . Jollakin positiivisella kokonaisluvulla k alkava alikvoottisekvenssi voidaan määritellä muodollisesti jakajien σ 1 summafunktiona seuraavasti [1] :

s 0 = k s n = σ 1 ( s n −1 ) − s n −1 .

Esimerkiksi luvun 10 alikvoottisekvenssi on 10, 8, 7, 1, 0, koska:

σ 1 (10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8 σ 1 (8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7 σ 1 (7) − 7 = 1 σ 1 (1) − 1 = 0

Monet alikvoottisekvenssit päättyvät nollaan (sekvenssi A080907 OEIS : ssä ), ja kaikki tällaiset sekvenssit päättyvät alkulukuon , jota seuraa ykkönen (koska alkuluvun ainoa oikea jakaja on yksi) ja nolla (koska yhdellä ei ole sisäisiä jakajia) ). On myös useita tapauksia, joissa alikvoottisekvenssi on ääretön:

N : llä alkavien alikvoottisekvenssien pituudet :

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (sekvenssi A044050 OEIS : ssä ).

Alikvoottisekvenssien (ei sisällä 1) viimeinen elementti, joka alkaa kirjaimella n :

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (sekvenssi A115350 OEIS : ssä ).

Numerot, joiden alikvoottisekvenssit päättyvät numeroon 1:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (sekvenssi A08907 OEIS : ssä ).

Numerot, joiden alikvoottisekvenssit päättyvät täydelliseen numeroon :

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (sekvenssi A063769 OEIS : ssä ).

Numerot, joiden alikvoottisekvenssit päättyvät sykliin, jonka pituus on 2:

220 284 562 1064 1184 1188 1210 1308 1336 1380 1420 1490 1604 1690 1692 1772 1816 1898 2008 21527 A 2EI 21527 ) .

Numerot, joiden osalta ei tiedetä, ovatko niiden alikvoottisekvenssit äärellisiä vai jaksollisia:

276 306 396 552 564 660 696 780 828 888 966 996 1074 1086 1098 1104 1134 1218 1302 1314 1320 1338 135.0 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (sekvenssi A131884 OEIS ) .

Tärkeä katalaanin kielestä johtuva alikvoottisekvenssejä koskeva olettamus on oletus, että mikä tahansa alikvoottisekvenssi päättyy johonkin luetelluista tavoista - alkuluku, täydellinen luku, joukko ystävälukuja tai joukko parinumeroita [2] . Muuten täytyy olla lukuja, joiden alikvoottisekvenssi on ääretön ja jaksottainen . Mikä tahansa edellä mainituista luvuista, joille alikvoottisekvenssiä ei ole täysin määritetty, voi olla tällainen luku. Viittä ensimmäistä ehdokasta kutsutaan Lehmerin viideksi (amerikkalaisen matemaatikon Dick Lehmerin mukaan ): 276 , 552, 564, 660 ja 966 [3] .

Joulukuuhun 2013 mennessä tunnetaan 898 positiivista kokonaislukua alle 100 000 , joille ei ole määritetty alikvoottisekvenssiä, ja 9205 tällaista lukua on alle 1 000 000 [4] .

Ominaisuudet

Alikvoottisekvenssi säilyttää pariteettinsa pitkään [5] [6] . Pariteetin muutos tapahtuu lajin jäsenillä ja

Muistiinpanot

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Aliquot Sequence  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Catalanin alikvoottisekvenssioletus  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  3. ↑ Lehmer Five (W. Creyaufmüller)
  4. ↑ Alikvoottisivut (W. Creyaufmüller )
  5. ↑ Richard K. Guy ja JL Selfridge. Mikä ohjaa alikvoottisekvenssiä?  (eng.)  // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1975. - Voi. 29 , ei. 129 . - s. 101-107 .
  6. ↑ Wieb Bosma. Jaa sekvenssit pienillä aloitusarvoilla .

Kirjallisuus

Linkit