Ystävällisiä numeroita

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Ystävälliset luvut ovat kaksi erilaista luonnollista lukua , joiden ensimmäisen luvun kaikkien varsinaisten jakajien summa on yhtä suuri kuin toinen luku ja päinvastoin, toisen luvun kaikkien oikeiden jakajien summa on yhtä suuri kuin ensimmäinen luku. Eli luonnollisten lukujen paria kutsutaan ystävällisiksi, jos: $M, N$

m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{k}=N,

n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{l}=M,

missä ovat luvun jakajat , ovat luvun jakajat . $m_{1},m_{2},...m_{k}$ $M$ $n_{1},n_{2},...n_{l}$ $N$

Näillä pareilla ei ole suurta merkitystä lukuteorian kannalta , mutta ne ovat utelias osa viihdyttävää matematiikkaa .

Joskus täydellisiä lukuja pidetään ystävällisten lukujen erikoistapauksena : jokainen täydellinen numero on ystävällinen itselleen.

Jos otamme huomioon kaikki jakajat, saamme: tai toisen ystävällisten lukujen määritelmän, joka vastaa tätä. Kahta lukua kutsutaan sovinnolliseksi pariksi , jos niillä on sama kaikkien jakajiensa summa, mikä on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa. $\sigma (M)-M=N$ $\sigma (M)=M+N=\sigma (N)$

Samoin kolme numeroa muodostavat sovintokolmoksen , jos niillä on sama kaikkien jakajiensa summa, mikä on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa. . $\sigma (M)=\sigma (N)=\sigma (K)=M+N+K$

Historia

Pythagoraan seuraajat löysivät ystävällisiä numeroita ; He onnistuivat kuitenkin löytämään vain yhden ystävänumeroparin - 220 ja 284.

Luettelo luvun 220 jakajista: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ja 110 - niiden summa on 284.
Luettelo luvun 284 jakajista: 1, 2, 4, 71 ja 142 - ja summa on 220.

Noin 850 arabitähtitieteilijä ja matemaatikko Thabit ibn Qurra ehdotti kaavaa joidenkin ystävällisten lukuparien löytämiseksi. Hänen kaavansa ansiosta oli mahdollista löytää kaksi uutta ystävälukuparia:

17296 ja 18416 ;
9 363 584 ja 9 437 056 .

1700-luvulla Euler löysi riittävän kriteerin ystävällislukuparien muodostamiseen, ja hänen luettelossaan oli jo 90 paria. Totta, tämä kriteeri ei kata kaikkia pareja: esimerkiksi Euler ei huomannut paria (1184, 1210) - se löydettiin jo 1800-luvulla. 1900-luvulla tietokoneet auttoivat löytämään kymmeniä miljoonia pareja. Mutta ei ole vieläkään tehokasta yleistä tapaa löytää kaikkia tällaisia pareja.

Ensimmäiset parit

Ystävyyslukuparit muodostavat OEIS : ssä sekvenssin A063990 ja ystävyysparissaan pienemmät numerot kerätään sarjaan A002025 ja suuremmat ovat A002046 . Kunkin parin lukujen summat muodostavat sekvenssin A180164 . On huomionarvoista, että kaikki tällaiset summat, ehdot, joissa ovat parilliset, asti (summa ja ) ovat jaollisia . Summat, jotka eivät ole jaettavissa luvulla A291550 . $1362660800=2^{6}\cdot 5^{2}\cdot 31\cdot 83\cdot 331$ $666030256$ $696630544$ $9$ $9$

220 ja 284 ( Pythagoras , noin 500 eaa.)
1184 ja 1210 (Paganini, 1866 )
2620 ja 2924 ( Euler , 1747 )
5020 ja 5564 ( Euler , 1747 )
6232 ja 6368 ( Euler , 1750 )
10 744 ja 10 856 ( Euler 1747 )
12 285 ja 14 595 (ruskea 1939 )
17296 ja 18416 ( Ibn al-Banna , noin 1300 ; Farisi , noin 1300 ; Ferma , 1636 )
63 020 ja 76 084 ( Euler , 1747 )
66928 ja 66992 ( Euler 1750 )
67 095 ja 71 145 ( Euler , 1747 )
69 615 ja 87 633 ( Euler , 1747 )
79 750 ja 88 730 (Rolf, 1964 )
100 485 ja 124 155
122 265 ja 139 815
122 368 ja 123 152
141 664 ja 153 176
142 310 ja 168 730
171 856 ja 176 336
176 272 ja 180 848
185 368 ja 203 432
196 724 ja 202 444
280 540 ja 365 084
308 620 ja 389 924
319 550 ja 430 402
356 408 ja 399 592
437 456 ja 455 344
469 028 ja 486 178
503 056 ja 514 736
522 405 ja 525 915
600 392 ja 669 688
609 928 ja 686 072
624 184 ja 691 256
635 624 ja 712 216
643 336 ja 652 664
667 964 ja 783 556
726 104 ja 796 696
802 725 ja 863 835
879 712 ja 901 424
898 216 ja 980 984
947 835 ja 1 125 765
998 104 ja 1 043 096
jne.

Tapoja rakentaa

Thabit ibn Qurran kaava

Jos luonnolliselle luvulle kaikki kolme numeroa ovat: $n>1$

p=3\times 2^{{n-1}}-1

q=3\times 2^{n}-1

r=9\times 2^{{2n-1}}-1

ovat alkuluku , sitten numerot ja muodostavat parin ystävällisiä lukuja. $2^{n}pq$ $2^{n}r$

Tämä kaava antaa vastaavasti parit (220, 284), ( 17296 , 18416 ) ja ( 9363584 , 9437056 ) , mutta ei ole muita sovintolukupareja, joita tästä kaavasta voitaisiin saada . $n=2,\;4,\;7$ $n<20~000,$

Eulerin kaava

Euler laajensi Thabit ibn Qurran kaavaa. Jos kaikki kolme numeroa ovat luonnollisia : $n>m$

p=(2^{n-m}+1)\times 2^{m}-1

q=(2^{n-m}+1)\times 2^{n}-1

r=(2^{n-m}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1

ovat alkuluku , sitten numerot ja muodostavat parin ystävällisiä lukuja. Thabit ibn Qurran kaava saadaan Eulerin kaavasta substituutiolla . Eulerin kaava lisäsi vain 2 paria ystävällisten lukujen luetteloon: $2^{n}pq$ $2^{n}r$ $m=n-1$ $(m,n)=(1,8),(29,40).$

Walter Bohrin menetelmä

Jos muodon ja numeroiden ja ystävällisten lukujen parille ovat alkuluku eivätkä ne ole jaollisia , niin kaikille luonnollisille luvuille , joille sekä numerot että ovat alkulukuja, numerot ja ovat ystävällisiä. $A=au$ $B=as$ $s$ $p=u+s+1$ $a$ $p$ $n$ $q_{1}=(u+1)p^{{n+1}}-1$ $q_{2}=(u+1)(s+1)p^{n}-1$ $B_{1}=Ap^{n}q_{1}$ $B_{2}=ap^{n}q_{2}$

Avoimet numerot

Ei tiedetä, onko ystävälukuparien määrä äärellinen vai ääretön. Huhtikuussa 2016 tiedetään yli 1 000 000 000 ystävyyslukuparia [1] . Ne kaikki koostuvat saman pariteetin luvuista.

Ei tiedetä, onko ystävyyslukujen parillinen pariton pari olemassa.

Ei myöskään tiedetä, onko koprime -ystävällisiä lukuja olemassa, mutta jos tällainen ystävälukupari on olemassa, niiden tulon on oltava suurempi kuin 10 67 .

Mielenkiintoisia faktoja

Ystävälliset numerot 1184 ja 1210 löysi vuonna 1866 italialainen koulupoika - Niccolo Paganini - kuuluisan virtuoosin ja säveltäjän koko kaima . On kummallista, etteivät muut suuret matemaatikot löytäneet tätä paria.

Ensinnäkin tunnettujen n - numeroisten ystävälukujen määrä enimmäkseen kasvaa ja saavuttaa maksiminsa kohdassa n = 111 ( tunnetaan 19 790 790 ystävälukuparia , joissa on 111 desimaalin numeroa), mutta sitten pääosin vähenee ja saavuttaa nollan kohdalla n = 917 (ei ole olemassa ). tunnettuja 917-numeroisia ystävälukupareja). Tässä parin numeroiden lukumäärä on parin pienemmän luvun numeroiden lukumäärä.

BOINC-projekti

30. tammikuuta 2017 käynnistettiin hajautettu laskentaprojekti BOINC-alustalla - Amicable Numbers [2] . Ystävällisten numeroiden haku suoritetaan sekä prosessorin että näytönohjaimen laskelmien avulla .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Sergei Chernykh Amicable Pairs -luettelo Arkistoitu 16. elokuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Julkinen julkaisu 30. tammikuuta 2017

Linkit

M. García, JM Pedersen, HJJ te Riele. Sovittavat parit, tutkimus (uus.) // Raportti MAS-R0307. - 2003. Arkistoitu 29. marraskuuta 2006. Arkistoitu 29. marraskuuta 2006 Wayback Machinessa
Weisstein, Eric W. Amicable Pair (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Euler's Rule (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Amicable Numbers on BOINC-projekti ystävällisten numeroiden löytämiseksi.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)

Numerot jakautuvuusominaisuuksien mukaan
Yleistä tietoa	Kokonaislukujen faktorointi Jaettavuus yhtenäinen jakaja Jakajatoiminto alkuluku Aritmetiikan peruslause Aritmeettinen luku
Faktorisointilomakkeet	alkuluku Yhdistelmänumero Semiprime suorakaiteen muotoinen numero Sphenic numero Neliötön luku Täysi moninkertainen Täydellinen tutkinto Akilleuksen numero sileä numero Tavallinen numero karkea luku epätavallinen määrä
Rajoitettujen jakajien kanssa	täydellinen numero Hieman riittämättömät määrät Hieman tarpeettomia numeroita Monitoiminen luku Hemitäydelliset luvut hypertäydellinen luku super täydellinen numero yhtenäinen alkuluku puolitäydellinen luku pararytminen numero Erdős-Nicolas numero
Lukuja, joissa on monia jakajia	Ylimääräiset numerot Primitiiviset ylimääräiset numerot Erittäin tarpeettomia numeroita Super Redundant Numbers Todella tarpeettomia lukuja superkomposiittiluku Erittäin superkomposiittiluku outo numero
Liittyy alikvoottisekvensseihin _	pyhä numero ystävällisiä numeroita julkisia numeroita Melko ystävällisiä numeroita
muu	Ei tarpeeksi numeroita kaverin numerot sublimoituja numeroita Malmi numerot nöyrä numero Samat numerot ekstravagantti numero