Täysi moninkertainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Täysi kerrannainen on positiivinen kokonaisluku , joka on jaollinen jokaisen alkujakajansa neliöllä .

Vastaava määritelmä: luku, joka voidaan esittää muodossa , missä ja ovat positiivisia kokonaislukuja ( luonnollisia lukuja ). ${\displaystyle a^{2}b^{3))$ $a$ $b$

Pal Erdős ja György Székeres , Solomon Golombin antama nimi, tutkivat systemaattisesti täydellisiä monikertaisia .

Luettelo täydellisistä kerrannaisista välillä 1 - 1000 [1] :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 25, 21, 21 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 648, 675, 676, 80, 90,48 , 968, 972, 1000.

Kahden määritelmän vastaavuus

Jos , niin mikä tahansa alkuluku esiintyy kahdesti ja elementti, joka tulee vähintään kolme kertaa; niin, että mikä tahansa hajotuksen alkuluku sisältyy ainakin neliöön . $m=a^{2}b^{3}$ $a$ $b$ $m$

Toisaalta olkoon täysi moninkertainen luku hajotettuna $m$

m=\prod p_{i}^{\alpha _{i))

missä jokainen . Määritämme yhtä kuin kolme, jos pariton, ja nolla muuten, ja määrittelemme . Silloin kaikki arvot ovat ei-negatiivisia parillisia kokonaislukuja ja kaikki arvot ovat joko nolla tai kolme, joten: $\alpha _{i}\geq 2$ ${\näyttötyyli \gamma _{i))$ $\alpha_i$ ${\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i))$ $\beta _{i}$ ${\näyttötyyli \gamma _{i))$

m=(\prod p_{i}^{\beta _{i)))(\prod p_{i}^{\gamma _{i)))=(\prod p_{i}^{\ beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}

antaa halutun esityksen neliön ja kuution tulona. $m$

Toisin sanoen annetulla laajennuksella luvut voidaan ottaa laajennukseen sisältyvien alkutekijöiden tulona parittomilla potenssilla (jos niitä ei ole, niin 1). Koska on täysi kerrannainen, jokaisen parittomalla asteella olevaan tekijöihin jakamiseen sisältyvän alkutekijän aste on vähintään 3, joten se on kokonaisluku. Nyt jokaisella alkutekijällä on parillinen aste, niin on täydellinen neliö, merkitään se muodossa ; ja se käy ilmi . Esimerkiksi: $m$ $b$ $m$ ${\displaystyle m/b^{3))$ ${\displaystyle m/b^{3))$ ${\displaystyle m/b^{3))$ $a^2$ $m=a^{2}b^{3}$

{\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2))

b=2\times 3=6

a={\sqrt {\frac {m}{b^{3))))={\sqrt {2^{2}\times 5^{2))}=10

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}

Matemaattiset ominaisuudet

Täysikertoimen käänteislukujen summa konvergoi:

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)))\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\ zeta (6)))={\frac {315}{2\pi ^{4))}\zeta (3)

missä on ohittaa kaikki alkuluvut , on Riemannin zeta-funktio ja Apéryn vakio (Golomb, 1970). $s$ $\zeta (s)$ $\zeta (3)$

Antaa tarkoittaa välissä olevien täysien monilukuisten lukujen määrää . Sitten verrannollinen neliöjuureen . _ Tarkemmin: $k(x)$ ${\näyttötyyli [1,x]}$ $k(x)$ $x$

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)= 2.173\cdots

[2] .

Kaksi pienintä peräkkäistä täyttä kerrannaista ovat 8 ja 9. Koska Pellin yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja, on myös ääretön määrä pareja peräkkäisiä täyskerroin [2] ; Yleisemmin voidaan löytää peräkkäiset täydet kerrannaiset etsimällä ratkaisu yhtälölle, joka on samanlainen kuin Pellin yhtälö mille tahansa kuutiolle . Yhden näin saadun parin täydestä kerrannaisista on kuitenkin oltava neliö. Gayn mukaan Erdős kysyi, onko olemassa äärettömän monta täysmonilukuparia, jotka ovat samanlaisia kuin , joissa yksikään parin luvuista ei ole neliö. Jaroslav Vroblevsky osoitti, että päinvastoin tällaisia pareja on äärettömän paljon, mikä osoittaa, että hänellä on äärettömän monta ratkaisua. $x^{2}-8y^{2}=1$ $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ $n$ $(23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})$ $3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}$

Erdős-Mollin-Walshin arvelun mukaan ei ole kolmea peräkkäistä täyttä monikertalukua.

Täysi kerrannaisten summat ja erot

Mikä tahansa pariton luku voidaan esittää kahden peräkkäisen neliön erotuksena:

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1

Samalla tavalla mikä tahansa luku, joka on neljän kerrannainen, voidaan esittää kahden kahdella eroavan luvun erotuksena: . Lukua, joka on jaollinen kahdella, mutta ei neljällä, ei kuitenkaan voida esittää neliöiden erotuksena, eli herää kysymys: mitkä parilliset luvut, jotka eivät ole jaollisia 4:llä, voidaan esittää kahden täyden moninkertaisen luvun erotuksena. ${\näyttötyyli (k+2)^{2}-k^{2}=4k+4}$

Golomb esitti useita tällaisia esityksiä:

2 = 3 3 - 5 2 10 = 13 3–3 7 18 \u003d 19 2 - 7 3 \u003d 3 2 (3 3 - 5 2 ).

Ensin tehtiin olettamus, että lukua 6 ei voida esittää tässä muodossa, ja Golomb ehdotti, että on äärettömän monta kokonaislukua, joita ei voida esittää kahden täyden moninkertaisen luvun erotuksena. Narkiwicz kuitenkin havaitsi, että on äärettömän monia tapoja esittää lukua 6, kuten

6 = 5 4 7 3 – 463 2 ,

ja McDaniel [3] osoittivat, että millä tahansa luvulla on ääretön määrä tällaisia esityksiä.

Erdős arveli, että mikä tahansa riittävän suuri kokonaisluku on enintään kolmen täyden kerrannaisen summa. Oletuksen todisti Roger Heath-Brown [4] .

Yleistys

$k$ -täydet luvut - luvut, joiden hajotuksessa alkulukuja esiintyy vähintään asteella . $k$

${\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k))$ , , ovat -täysikertoja aritmeettisessa progressiossa . ${\displaystyle 2^{k}(2^{k+1}-1)^{k))$ $(2^{k+1}-1)^{k+1}$ $k$

Lisäksi, jos ovat -täydet kerrannaiset aritmeettisessa etenemisessä erotuksen kanssa , niin: ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{s))$ $k$ $d$

(a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots ,a_{s}(a_{s}+d)^{ k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}

ovat täydellisiä lukuja aritmeettisessa progressiossa. $k$

Meillä on täydet useat numerot : $k$

a^{k}(a^{l}+\pisteet +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\pisteet +1)+\pisteet +a^ {k+l}(a^{l}+\pisteet +1)=a^{k}(a^{l}+\pisteet +1)^{k+1}

Tämä yhtälö antaa äärettömän monta pituuksien joukkoa - lukujen täydet kerrannaiset, joiden summat ovat myös - täydet kerrannaiset. Nitaj [5] osoitti, että yhtälön ratkaisuja on äärettömän monta 3- täydisten lukujen joukossa . Cohn [6] rakensi äärettömän ratkaisuperheen yhtälöön koprime 3-täyden kerrannaisten kesken: kolmois $l+1$ $k$ $k$ $x+y=z$ $x+y=z$

X=9712247684771506604963490444281

Y=32295800804958334401937923416351

Z=27474621855216870941749052236511

on ratkaisu yhtälöön . On mahdollista rakentaa toinen ratkaisu lisäämällä ja poistamalla yhteinen jakaja. ${\displaystyle 32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3))$ $X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3} -49V^{3})$

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A001694 _
↑ 12 Golomb , 1970 .
↑ McDaniel, 1982 .
↑ Heath-Brown, 1988 .
↑ Nitaj, 1995 .
↑ Cohn, 1998 .

Kirjallisuus

Cohn, JHE Erdősin arvelu kolmivoimaisista luvuista // Math. Comp. - 1998. - T. 67 , no. 221 . - S. 439-440 . - doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
Pal Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. sci. Szeged. - 1934. - Nro 7 . - S. 95-102 .
Solomon W. Golomb. Tehokkaat numerot // American Mathematical Monthly . - 1970. - T. 77 , nro 8 . - S. 848-852 . - doi : 10.2307/2317020 . — .
Richard K Guy. Osa B16 // Ratkaisemattomat ongelmat lukuteoriassa, 3. painos. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 0-387-20860-7 .
Roger Heath Brown. Kolmiosaiset neliömuodot ja kolmen täysneliön luvun summat. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 137-163. — (Seminaire de Théorie des Nombres, Pariisi, 1986-7).
Roger Heath Brown. Kolmen neliön ja täyden luvun summat. — Colloq. Matematiikka. soc. Janos Bolyai, ei. 51, 1990. - S. 163-171. — (Lukuteoria, I (Budapest, 1987)).
Wayne L. McDaniel. Jokaisen kokonaisluvun esitykset voimakkaiden lukujen erona // Fibonacci Quarterly . - 1982. - Nro 20 . - S. 85-87 .
Abderrahman Nitaj. Erdősin olettamuksesta kolmivoimaisista luvuista // Bull. Lontoon matematiikka. soc. . - 1995. - V. 4 , nro 27 . - S. 317-318 . - doi : 10.1112/blms/27.4.317 .

Linkit

Weisstein , Eric W. Tehokas numero Wolfram MathWorldissä .
Abc-oletus

Numerot jakautuvuusominaisuuksien mukaan
Yleistä tietoa	Kokonaislukujen faktorointi Jaettavuus yhtenäinen jakaja Jakajatoiminto alkuluku Aritmetiikan peruslause Aritmeettinen luku
Faktorisointilomakkeet	alkuluku Yhdistelmänumero Semiprime suorakaiteen muotoinen numero Sphenic numero Neliötön luku Täysi moninkertainen Täydellinen tutkinto Akilleuksen numero sileä numero Tavallinen numero karkea luku epätavallinen määrä
Rajoitettujen jakajien kanssa	täydellinen numero Hieman riittämättömät määrät Hieman tarpeettomia numeroita Monitoiminen luku Hemitäydelliset luvut hypertäydellinen luku super täydellinen numero yhtenäinen alkuluku puolitäydellinen luku pararytminen numero Erdős-Nicolas numero
Lukuja, joissa on monia jakajia	Ylimääräiset numerot Primitiiviset ylimääräiset numerot Erittäin tarpeettomia numeroita Super Redundant Numbers Todella tarpeettomia lukuja superkomposiittiluku Erittäin superkomposiittiluku outo numero
Liittyy alikvoottisekvensseihin _	pyhä numero ystävällisiä numeroita julkisia numeroita Melko ystävällisiä numeroita
Muut	Ei tarpeeksi numeroita kaverin numerot sublimoituja numeroita Malmi numerot nöyrä numero Samat numerot ekstravagantti numero