Neliötön numero

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29.6.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Matematiikassa neliötön tai neliötön on luku , joka ei ole jaollinen millään neliöllä paitsi 1:llä. Esimerkiksi 10 on neliötön, mutta 18 ei ole, koska 18 on jaollinen luvulla 9 = 3 2 . Neliöttömien lukujen sarjan alku on:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... OEIS - sekvenssi A005117

Rengasteoria yleistää neliömäisyyden käsitteen seuraavasti:

Tekijärenkaan R alkion r sanotaan olevan neliötön , jos se ei ole jaollinen ei-triviaalilla neliöllä.

Neliömäisiä elementtejä voidaan luonnehtia myös niiden tekijöiden jakamisen perusteella: mikä tahansa nollasta poikkeava alkio r voidaan esittää alkualkioiden tulona

{\displaystyle r=\varepsilon p_{1}p_{2}\cdots p_{n))

lisäksi kaikki alkutekijät p i ovat erilaisia, ja ne ovat jokin renkaan identiteetti ( käännettävä elementti ). $\varepsilon$

Neliöttömien lukujen ekvivalenttiominaisuus

Positiivinen luku n on vapaa neliöistä silloin ja vain, jos mikään alkuluku ei esiinny useammin kuin kerran tämän luvun tekijöissä alkutekijöiksi . Toinen tapa ilmaista se on: mille tahansa n : n alkujakajalle p ei jaa n / p : tä . Tai luku n on neliötön silloin ja vain, jos sen minkä tahansa tekijöiden n = ab tapauksessa tekijät a ja b ovat koprime .

Positiivinen luku n on neliötön silloin ja vain jos , missä tarkoittaa Möbius-funktiota . $\mu (n)\neq 0$ $\mu(n)$

Dirichlet -sarja, joka tuottaa neliövapaita lukuja:

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}

missä on Riemannin zeta-funktio .

\zeta (s)

Tämä käy heti ilmi Eulerin tuotteesta :

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{ -s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).

Positiivinen luku n on neliötön silloin ja vain, jos kaikki n: n kertaluvun Abelin ryhmät ovat isomorfisia keskenään, mikä on totta, jos ja vain jos ne kaikki ovat syklisiä . Tämä seuraa äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelusta .

Positiivinen luku n on neliötön silloin ja vain, jos osamäärärengas (katso modulo congruence ) on kenttien tulo . Tämä seuraa kiinalaisesta jäännöslauseesta ja siitä, että rengas on kenttä silloin ja vain jos k on alkuluku. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Minkä tahansa positiivisen luvun n kohdalla kaikkien sen positiivisten jakajien joukko on osittain järjestetty joukko , jos otamme järjestykseksi "jakautuvuussuhteen". Tämä osittain järjestetty sarja on aina jakohila . Se on Boolen algebra jos ja vain jos n on neliötön.

Kokonaisluvun radikaali on aina vapaa neliöistä.

Neliöttömien lukujen tiheys

Let määrittää neliövapaiden lukujen lukumäärän välillä 1 ja x . Suurella n :llä 3/4 positiivisista luvuista, jotka ovat pienempiä kuin n , eivät ole jaollisia 4:llä, 8/9 näistä luvuista ei ole jaollisia 9:llä jne. Koska nämä tapahtumat ovat riippumattomia, saamme kaavan: $Q(x)$

{\displaystyle Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}\left(1-{\frac {1}{p^{2))}\right)=x\prod _{p\ {\teksti{alkuluku))}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2))})^{-1))))

Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2))}+{\ frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2} }}}}={\frac {x}{\zeta (2)))

Saat kaavan ilman zeta-funktiota:

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2 }}}+O\vasen({\sqrt {x}}\oikea)

(katso pi ja "O" iso ja "o" pieni ). Riemannin hypoteesin mukaan arviota voidaan parantaa: [1]

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)))+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\vasen(x^{17/54+\varepsilon }\oikea).

Näin neliövapaiden lukujen lukumäärän ero n :ään asti käyttäytyy OEIS-verkkosivustolla: A158819 - (neliöttömien lukujen määrä ≤ n ) miinus pyöreä( n /ζ(2)). $\left[{\frac {n}{\zeta (2)))\oikea]$

Näin ollen neliövapaiden lukujen asymptoottinen tiheys näyttää tältä:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{ \zeta(2)}}

Missä on Riemannin zeta-funktio a (eli noin 3/5 kaikista luvuista on vapaita neliöistä). $\zeta$ $1/\zeta (2)\noin 0,6079$

Vastaavasti, jos tarkoittaa n -vapaiden lukujen määrää (eli 3-vapaat luvut eivät sisällä kuutioita) välillä 1 ja x , niin: $Q(x,n)$

Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n))))}+O\left ({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)))+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\oikea ).

Binäärikoodaus

Jos edustamme neliötöntä lukua muodon äärettömänä tulona

\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n)),

missä , a on n :s alkuluku , voimme valita nämä kertoimet ja käyttää niitä binääribitteinä: $a_{n}\in \{0,1\},$ $p_n$ $a_n$

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}

Esimerkiksi neliötön luku 42 jaetaan 2 × 3 × 7:ksi tai äärettömäksi tuloksi: 2 1 3 1 5 0 7 1 11 0 13 0 …; Siten numero 42 on koodattu sekvenssillä ...001011 tai 11 desimaaliluvulla. (Binäärikoodauksessa bitit kirjoitetaan päinvastoin.) Ja koska jokaisen luvun alkulukujako on yksilöllinen, jokaisen neliöttömän luvun binäärikoodi on myös yksilöllinen.

Päinvastoin on myös totta: koska jokaisella positiivisella luvulla on yksilöllinen binäärikoodi, se voidaan dekoodata antamaan ainutlaatuisia neliövapaita lukuja.

Otetaanpa luku 42 jälleen esimerkkinä - tällä kertaa vain positiivisena lukuna. Sitten saamme binäärikoodin 101010 - tämä tarkoittaa: 2 0 3 1 5 0 7 1 11 0 13 1 = 3 × 7 × 13 = 273.

Kardinaaliteettien suhteen tämä tarkoittaa, että neliövapaiden lukujen joukon kardinaalisuus on sama kuin kaikkien luonnollisten lukujen joukon kardinaliteetti. Mikä puolestaan tarkoittaa, että neliövapaiden lukujen koodaukset järjestyksessä ovat täsmälleen luonnollisten lukujen joukon permutaatio.

Katso sekvenssit A048672 ja A064273 OEIS :n verkkosivustolta .

Erdős arvelu

Keskibinomikerroin ei voi olla neliötön, kun n > 4. ${2n \choose n}$

Tämän Erdősin neliömäisyysoletuksen osoittivat vuonna 1996 matemaatikot Olivier Ramare ja Andrew Graville.

Katso myös

Möbius-toiminto

Kirjallisuus

Bukhshtab A.A. Numeroteoria . - M .: Koulutus, 1966. - 385 s.

Muistiinpanot

↑ Jia, Chao Hua. "Neliöttömien lukujen jakautuminen", Science in China -sarja A: Mathematics 36 :2 (1993), s. 154-169. Lainattu Pappalardissa 2003, A Survey on k -freeness Arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa ; katso myös Kaneenika Sinha, " Tiettyjen aritmeettisten funktioiden keskimääräiset järjestykset Arkistoitu 14. helmikuuta 2012 Wayback Machinessa ", Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21 :3 (2006), pp. 267-277.

Numerot jakautuvuusominaisuuksien mukaan
Yleistä tietoa	Kokonaislukujen faktorointi Jaettavuus yhtenäinen jakaja Jakajatoiminto alkuluku Aritmetiikan peruslause Aritmeettinen luku
Faktorisointilomakkeet	alkuluku Yhdistelmänumero Semiprime suorakaiteen muotoinen numero Sphenic numero Neliötön luku Täysi moninkertainen Täydellinen tutkinto Akilleuksen numero sileä numero Tavallinen numero karkea luku epätavallinen määrä
Rajoitettujen jakajien kanssa	täydellinen numero Hieman riittämättömät määrät Hieman tarpeettomia numeroita Monitoiminen luku Hemitäydelliset luvut hypertäydellinen luku super täydellinen numero yhtenäinen alkuluku puolitäydellinen luku pararytminen numero Erdős-Nicolas numero
Lukuja, joissa on monia jakajia	Ylimääräiset numerot Primitiiviset ylimääräiset numerot Erittäin tarpeettomia numeroita Super Redundant Numbers Todella tarpeettomia lukuja superkomposiittiluku Erittäin superkomposiittiluku outo numero
Liittyy alikvoottisekvensseihin _	pyhä numero ystävällisiä numeroita julkisia numeroita Melko ystävällisiä numeroita
Muut	Ei tarpeeksi numeroita kaverin numerot sublimoituja numeroita Malmi numerot nöyrä numero Samat numerot ekstravagantti numero