Tavallinen numero

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4.6.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Säännölliset luvut ovat lukuja, jotka jakavat tasaisesti luvun 60 potenssit (tai vastaavasti luvun 30 potenssit ). Esimerkiksi 60 2 = 3600 = 48 × 75, joten sekä 48 että 75 ovat 60:n potenssin jakajia. Ne ovat siis tavallisia lukuja . Vastaavasti nämä ovat lukuja, joiden ainoat alkujakajat ovat 2, 3 ja 5.

Lukuja, jotka jakautuvat tasaisesti 60:n potenssiin, esiintyy useilla matematiikan ja sen sovellusten osa-alueilla, ja niillä on eri nimiä näistä eri aloista.

Numeroteoria

Muodollisesti säännöllinen luku on ei-negatiivisten kokonaislukujen i , j ja k kokonaisluku muotoa 2 i ·3 j ·5 k . Tämä luku on jakaja . Säännöllisiä lukuja kutsutaan myös 5 - sileiksi , mikä tarkoittaa, että niiden suurin alkutekijä on enintään 5.

Muutama ensimmäinen tavallinen numero

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... (sekvenssi A051037 OEIS : ssä ).

Joillakin muilla OEIS :n sarjoilla on määritelmät, jotka sisältävät 5-tasaiset luvut [2] .

Vaikka säännölliset luvut näyttävät tiheiltä välillä 1-60, ne ovat melko harvinaisia ​​suurten kokonaislukujen joukossa. Säännöllinen luku n = 2 i 3 j 5 k on pienempi tai yhtä suuri kuin N silloin ja vain jos piste ( i , j , k ) kuuluu tetraedriin , jota rajoittavat koordinaattitasot ja taso

kuten voidaan nähdä ottamalla epäyhtälön 2 i ·3 j ·5 k ≤ N kummankin puolen logaritmi . Siksi säännöllisten lukujen lukumäärä, joka ei ylitä N :a, voidaan arvioida tämän tetraedrin tilavuudeksi , joka on yhtä suuri kuin

Vielä tarkemmin, käyttämällä "O"-merkintää on suuri , määrä säännöllisiä numeroita aina N on

ja on ehdotettu, että tämän likiarvon virhe on itse asiassa [3] . Srinivasa Ramanujan on antanut samanlaisen kaavan 3-tasaisten lukujen lukumäärälle N :ään saakka ensimmäisessä kirjeessään Godfrey Harold Hardylle [4] .

Babylonian matematiikka

Babylonilaisessa seksagesimaalisessa merkinnässä säännöllisen luvun käänteisluvulla on äärellinen esitys, joten se on helposti jaettavissa. Erityisesti, jos n jakaa 60 k , niin 1/ n :n 60 k / n on siirretty tietyllä määrällä paikkoja.

Oletetaan esimerkiksi, että haluamme jakaa yhteisellä luvulla 54 = 2 1 3 3 . 54 on luvun 603 jakaja ja 603/54 = 4000 , joten jakaminen 54:llä seksagesimaaliluvulla voidaan tehdä kertomalla 4000:lla ja siirtämällä kolmea numeroa. Seksagesimaalissa 4000 = 1x3600 + 6x60 + 40x1 tai (Joycen mukaan) 1:6:40. Joten 1/54 seksagesimaalissa on 1/60 + 6/60 2 + 40/60 3 , joka on myös merkitty numerolla 1:6:40, kuten babylonialaisissa sopimuksissa. määrittämättä alkunumeron astetta. Kääntäen 1/4000 = 54/60 3 , joten jakaminen 1:6:40 = 4000:lla voidaan tehdä kertomalla 54:llä ja siirtämällä kolmea seksagesimaalilukua.

Babylonialaiset käyttivät vastavuoroisten säännöllisten lukujen taulukoita, joista osa on säilynyt tähän päivään asti (Sachs, 1947). Nämä taulukot olivat olemassa suhteellisen muuttumattomina koko Babylonian ajan [5] .

Vaikka pääasiallinen syy tavallisten lukujen suosimiseen muihin verrattuna on niiden käänteislukujen äärellisyys, jotkin babylonialaiset laskelmat sisälsivät myös säännöllisiä lukuja. Esimerkiksi säännöllisten neliöiden taulukoita on löydetty [5] ja Otto E. Neugebauer on tulkinnut Plimpton- taulun 322 murretun nuolenkirjoituksen Pythagoraan kolmoiskappaleiden luettelona, ​​jonka muodostavat molemmat säännölliset luvut p , q , jotka ovat pienempiä kuin 60 . [6] .

Musiikin teoria

Musiikkiteoriassa diatonisen asteikon luonnollinen viritys sisältää tavalliset numerot: tämän asteikon yhden oktaavin sävelkorkeudet ovat verrannollisia numeroihin 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 lähes peräkkäin säännöllinen. numeroita. Näin ollen tällä virityksellä varustetun instrumentin kaikki sävelkorot ovat säännöllisiä harmonisia , joilla on sama perustaajuus . Tätä asteikkoa kutsutaan 5 -rajan viritykseksi, mikä tarkoittaa, että minkä tahansa kahden sävyn välistä aikaväliä voidaan kuvata 2 i 3 j 5 k :n alkulukujen potenssien tulona viiteen asti, tai vastaavasti säännöllisten suhteidena. numeroita.

Länsimaisesta musiikista tuttua diatonista asteikkoa on käytetty myös sekä muiden kulttuurien perinteisessä musiikissa että nykyaikaisessa kokeellisessa musiikissa: Honingh & Bod (2005 ) listaa 31 erilaista 5-rajaista asteikkoa suuresta tietokannasta. musiikilliset asteikot. Jokaisella näistä 31 asteikosta on diatonisen intonaation kanssa se ominaisuus, että kaikki intervallit ovat säännöllisten lukujen suhteita. Eulerin sävyruudukko tarjoaa kätevän graafisen esityksen sävelkorkeudesta missä tahansa 5-rajavirityksessä poimimalla oktaavisuhteet (kahden potenssit) niin, että loput arvot muodostavat tasomaisen ruudukon . Jotkut musiikkiteoreetikot ovat todenneet yleisemmin, että säännölliset luvut ovat perustavanlaatuisia itse sävelmusiikille ja että yli 5 alkulukuihin perustuvat äänenkorkeussuhteet eivät voi olla konsonantteja [7] . Modernien pianojen samanlainen temperamentti ei kuitenkaan ole 5-rajan viritys, ja jotkut modernit säveltäjät ovat kokeilleet virityksiä, jotka perustuvat yli 5:n alkulukuihin.

Tavallisten lukujen soveltamisen yhteydessä musiikkiteoriaan on mielenkiintoista löytää säännöllisten lukujen pareja, jotka eroavat yhdellä. Tällaisia ​​pareja ( x , x + 1) on tasan kymmenen [8] ja jokainen tällainen pari määrittelee superhiukkasrelaation ( x + 1)/ x , joka on mielekästä musiikillisena intervallina. Se on 2/1 ( oktaavi ), 3/2 ( täydellinen kvints ), 4/3 ( täydellinen kvints ), 5/4 (suurterts [ ), 6/5 ( alaterts ), 9/8 ( suursekunti ), 10/9 ( molli sekunti ), 16/15 ( diatoninen puolisävel ), 25/24 ( kromaattinen puolisävel ) ja 81/80 (syntoninen pilkku ).

Algoritmit

Edsger Dijkstra teki suosituksi algoritmit säännöllisten lukujen laskemiseen nousevassa järjestyksessä . Dijkstra [9] [10] luokittelee Hammingin ongelman rakentaa ääretön kasvava sekvenssi kaikista 5-sileistä lukuista; tämä ongelma tunnetaan nyt Hamming-ongelmana ja näin saatuja lukuja kutsutaan myös Hamming-luvuiksi . Dijkstran ideat näiden lukujen laskemiseksi ovat seuraavat:

Tätä algoritmia käytetään usein osoittamaan laiskan funktionaalisen ohjelmointikielen tehoa , koska (implisiittisesti) rinnakkaiset tehokkaat toteutukset, joissa käytetään vakiomäärää aritmeettisia operaatioita generoitua arvoa kohti, on helppo rakentaa edellä kuvatulla tavalla. Yhtä tehokkaat tiukat funktionaaliset tai pakottavat peräkkäiset toteutukset ovat myös mahdollisia, kun taas eksplisiittisesti rinnakkaiset generatiiviset ratkaisut voivat olla ei-triviaaleja [11] .

Python - ohjelmointikielessä laiska toiminnallinen koodi säännöllisten lukujen generoimiseksi on yksi sisäänrakennetuista testeistä kielen toteutuksen oikeellisuudesta [12] .

Knuthissa (1972 ) käsitelty tähän liittyvä ongelma on luetella kaikki k - numeroiset heksadesimaaliluvut nousevassa järjestyksessä, kuten seleukidien aikakauden kirjanoppinut Inakibit-Anu teki taulussa AO6456 (jos k = 6) . Algoritmisilla termeillä tämä vastaa (järjestyksessä) tavallisten lukujen äärettömän sekvenssin muodostamista välillä 60 k - 60 k + 1 . Katso Gingerich (1965 ) varhaisen kuvauksen tietokonekoodista, joka luo nämä numerot epäjärjestyksessä ja lajittelee ne sitten; Knuth kuvaa erikoisalgoritmin, jonka hän lukee Bruinsin (1970 ) ansioksi, kuusinumeroisten lukujen generoimiseksi nopeammin, mutta se ei yleisty suoraan suuriin k :n arvoihin . Eppstein (2007 ) kuvaa algoritmin tämäntyyppisten taulukoiden laskemiseksi lineaarisessa ajassa mielivaltaisille k :n arvoille .

Muut sovellukset

Heninger, Rains & Sloane (2006 ) osoittavat, että kun n on säännöllinen luku, joka on jaollinen 8:lla, n - ulotteisen äärimmäisen jopa unimodulaarisen hilan generoiva funktio on polynomin n:s potenssi .

Kuten muissakin tasaisten lukujen luokissa , säännölliset luvut ovat tärkeitä ongelmakokoina tietokoneohjelmissa nopean Fourier-muunnoksen suorittamiseen , tekniikkaan, jolla analysoidaan hallitsevia signaalitaajuuksia ajassa muuttuvassa datassa . Esimerkiksi Tempertonin (1992 ) menetelmä edellyttää muunnoksen pituuden olevan tavallinen luku.

Platonin osavaltioiden kirjassa 8 on allegoria avioliitosta, joka perustuu hyvin säännölliseen numeroon 60 4 = 12 960 000 ja sen jakajiin. Myöhemmät tutkijat käyttivät sekä babylonialaista matematiikkaa että musiikin teoriaa yrittäessään selittää tämän kohdan [13] . (Katso Platonin numero .)

Muistiinpanot

  1. ↑ Erkki Kurenniemen samankaltaisista kaavioista inspiraationa " Sointuja, asteikkoja ja jakajahiloja" Arkistoitu 10. helmikuuta 2021 Wayback Machinessa .
  2. ↑ OEIS-haku jaksoista 5-sleevyydellä Arkistoitu 10. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa .
  3. ↑ Neil Sloan . On-line Encyclopedia of Integer Sequences . Haettu 10. huhtikuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2021.
  4. ↑ Berndt, Bruce K. & Rankin, Robert Alexander, toim. (1995), Ramanujan: Letters and Commentaries , voi. 9, History of Mathematics, American Mathematical Society, s. 23, ISBN 978-0-8218-0470-4  .
  5. ↑ 12 Aaboe (1965 ).
  6. ↑ Katso Conway & Guy (1996 ) tämän tulkinnan suositusta käsittelystä. Plimpton 322 :lla on muita tulkintoja, joista katso hänen artikkelinsa, mutta ne kaikki sisältävät säännöllisiä numeroita.
  7. ↑ Esimerkiksi Asmussen (2001 ) toteaa, että "missä tahansa sävelmusiikin kappaleessa" kaikkien intervallien on oltava säännöllisten lukujen suhteita, mikä toistaa samanlaisia ​​väitteitä paljon aikaisemmilta kirjoittajilta, kuten Habensilta (1889 ). Nykymusiikin teoriakirjallisuudessa tämä väite johtuu usein Longuet-Higginsistä (1962 ), joka käytti graafista suunnittelua lähellä tonaalista verkostoa järjestääkseen 5-rajaisia ​​sävelkorkeuksia.
  8. ↑ Halsey & Hewitt (1972 ) huomautti, että tämä seuraa Størmerin lauseesta ( Størmer 1897 ) ja esitti todisteita tässä tapauksessa; katso myös Silver (1971 ).
  9. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1976), 17. RW Hammingin harjoitus , A Programming Discipline , Prentice-Hall, s. 129–134 , ISBN 978-0132158718 , < https://archive.org/details/disciplineofprog0000dijk/page/129 > 
  10. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1981), Hamming Exercise in SASL , raportti EWD792. Alun perin jaettu yksityisesti käsinkirjoitettuna muistiinpanona. , < http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF > Arkistoitu 4. huhtikuuta 2019 Wayback Machinessa 
  11. ↑ Katso esimerkiksi Hemmendinger (1988 ) tai Yuen (1992 ).
  12. ↑ Function m235 osoitteessa test_generators.py Arkistoitu 29. syyskuuta 2007 Wayback Machinessa .
  13. ↑ Barton (1908 ); McClain (1974 ).

Linkit

Ulkoiset linkit