Pellin numero

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Pell-luku on kokonaisluku , joka esiintyy nimittäjänä 2 :n neliöjuuren konvergenttien äärettömässä jonossa . Tämä approksimaatiosarja alkaa seuraavasti: , eli ensimmäiset Pell-luvut ovat 1, 2, 5, 12 ja 29. Saman approksimaatiosarjan osoittajat ovat puolet mukana olevista Pell- tai Pell-Luc-luvuista - ääretön sekvenssi, joka alkaa numeroilla 2, 6, 14, 34 ja 82. ${\frac {1}{1)),{\frac {3}{2)),{\frac {7}{5)),{\frac {17}{12)),{\frac {41}{29}},\pisteet$

Molemmat sekvenssit, Pell-luvut ja niihin liittyvät Pell-luvut, voidaan laskea toistuvuusrelaatiolla , joka on samanlainen kuin Fibonacci-lukujen kaavoissa , ja molemmat numerosarjat kasvavat eksponentiaalisesti suhteessa hopealeikkauksen tehoon . $1+{\sqrt 2}$

Kahden neliöjuuren approksimaatioiden käytön lisäksi jatkuvissa murtoluvuissa Pell-lukuja voidaan käyttää neliökolmiolukujen etsimiseen ja joidenkin kombinatoristen laskentatehtävien ratkaisemiseen [1] .

Pellin numerosarja on tunnettu muinaisista ajoista lähtien. Pellin yhtälön tavoin Leonhard Euler liittää Pell-luvut virheellisesti John Pellin ansioksi . Pell-Luc-luvut on nimetty Eduard Lucin mukaan, joka tutki näitä sekvenssejä. Sekä Pell-luvut että niihin liittyvät Pell-luvut ovat Lucas-sekvenssien erikoistapauksia .

Pell-numerot

Pell-luvut saadaan lineaarisella toistuvuusrelaatiolla :

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n>1 \end{cases}

ja ovat Lucas-sekvenssin erikoistapaus .

Ensimmäiset Pell-numerot

0 , 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408, 985, 2378, … ( OEIS - sekvenssi A000129 ).

Pell-luvut voidaan ilmaista kaavalla

P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

Suurille n:n arvoille termi hallitsee tätä lauseketta, joten Pell-luvut ovat karkeasti verrannollisia hopealeikkauksen potenssiin , aivan kuten Fibonaccin luvut ovat karkeasti verrannollisia kultaisen leikkauksen potenssiin . $\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n$ $\scriptstyle (1+\sqrt 2)$

Kolmas määritelmä on myös mahdollinen - matriisikaavan muodossa

{\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end {pmatrix}}^{N-1}.

Näillä määritelmillä voidaan todistaa monia identiteettejä, kuten Fibonacci-lukujen Cassini-identiteettiä vastaava identiteetti,

P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{N-1},

välittömänä seurauksena matriisikaavasta (korvaamalla matriisideterminantteja vasemmalla ja oikealla) [2] .

Approksimaatio kahden neliöjuureen

Pell-luvut syntyivät historiallisesti rationaalisista approksimaatioista luvun 2 neliöjuureen . Jos kaksi suurta kokonaislukua x ja y antavat ratkaisun Pellin yhtälölle

\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,

sitten niiden suhde antaa lähellä likimäärää . Tällaisten approksimaatioiden sarja $\tfrac{x}{y}$ $\scriptstyle\sqrt 2$

1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots

jossa kunkin murtoluvun nimittäjä on Pell-luku ja osoittaja on Pell-luvun ja sen edeltäjän summa sarjassa. Näin ollen approksimaatiot ovat muotoa . $\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$

Lähentäminen

\sqrt 2\approx\frac{577}{408}

tämä tyyppi oli tiedossa Intian matemaatikoille kolmannella tai neljännellä vuosisadalla eKr . [3] . Kreikkalaiset matemaatikot 500-luvulla eKr. olivat myös tietoisia tästä approksimaatiosta [4] . Platon viittaa osoittajiin rationaalisina halkaisijana [5] . Toisella vuosisadalla jKr Theon Smyrna käytti termejä sivu ja halkaisija kuvaamaan tämän sekvenssin nimittäjää ja osoittajaa [6] .

Nämä likiarvot voidaan johtaa jatkuvasta murto -osasta : $\scriptstyle\sqrt 2$

\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\, }}}}}}.

Jatketun murto-osan äärellinen osa antaa likiarvon Pell-lukujen muodossa. Esimerkiksi,

\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.

Kuten Knuth (1994) kirjoitti, Pell-lukujen approksimaatio mahdollistaa niiden käytön rationaalisessa approksimaatiossa säännölliseen kahdeksankulmioon , jonka kärkikoordinaatit ja . Kaikki tämän kahdeksankulmion kärjet ovat samalla etäisyydellä keskustasta ja muodostavat lähes samat kulmat. Myös pisteet , ja muodostavat kahdeksankulmion, jonka kärjet ovat lähes yhtä kaukana keskustasta ja muodostavat samat kulmat. $\scriptstyle\sqrt 2$ $(\pm P_i,\pm P_{i+1})$ $(\pm P_{i+1},\pm P_i)$ $(\pm(P_i+P_{i-1}),0)$ $(0,\pm(P_i+P_{i-1}))$ $(\pm P_i,\pm P_i)$

Yksinkertaiset ja neliöt

Alkuluku Pell on Pell-luku, joka on myös alkuluku . Useita ensimmäisiä Pell-alkulukuja

2, 5, 29, 5741, … (sekvenssi A086383 OEIS : ssä )

Kuten Fibonacci-lukujen kohdalla, Pell-luku voi olla alkuluku vain, jos n itse on alkuluku. $P_{n}$

Pell-lukuja on vain kolme, jotka ovat neliöitä, kuutioita ja muita korkeampia tehoja - nämä ovat 0, 1 ja 169 = 13 2 [7] .

Huolimatta siitä, että Pell-lukujen joukossa on niin vähän neliöitä ja muita tehoja, niillä on läheinen suhde neliökolmiolukuihin [8] . Nämä numerot johtuvat seuraavasta identiteetistä:

\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+ P_k)^2-(-1)^k\oikea)}{2}.

Tämän identiteetin vasen puoli antaa neliönumeron , kun taas oikea puoli antaa kolmioluvun , joten tuloksena on neliökolmioluku.

Santana ja Diaz-Barrero (2006) osoittivat toisen identiteetin, joka yhdistää Pell-luvut neliöihin osoittamalla, että Pell-lukujen summa aina on neliö: $P_{4n+1}$

\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+ P_{2n+1})^2.

Esimerkiksi Pell-lukujen summa , , on neliö . $P_5$ $0+1+2+5+12+29=49$ $P_2+P_3=2+5=7$

Numerot , jotka muodostavat tällaisten summien neliöjuuret, $P_{2n}+P_{2n+1}$

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (sekvenssi A002315 OEIS : ssä ),

tunnetaan nimellä Newman-Shanks-Williams alkuluku .

Pythagoraan kolmoset

Jos suorakulmaisella kolmiolla on sivut a , b , c ( Pythagoraan lauseen a 2 + b 2 = c 2 mukaan), niin ( a , b , c ) tunnetaan Pythagoran kolmoisina . Martin (1875) kirjoittaa, että Pell-lukujen avulla voidaan muodostaa Pythagoran kolmioita, joissa a ja b eroavat yhdellä, mikä vastaa lähes tasakylkistä suorakulmaista kolmiota. Jokaisella tällaisella kolmiosalla on muoto

(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1} ).

Tällä tavalla saatu Pythagoraan kolminkertainen sekvenssi

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Pell-Luc numerot

Liittyvät Pell- tai Pell-Luc-luvut määritellään lineaarisella toistuvuussuhteella :

Q_n=\begin{cases}2, n=0\\2, n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}, n>1\end{cases}

Eli sekvenssin kaksi ensimmäistä numeroa ovat 2 ja kaikki loput muodostetaan edellisen Pell-Luc-luvun ja sitä edeltävän kaksinkertaisena summana tai vastaavasti lisäämällä seuraava Pell-luku ja edellinen luku . Siten 82:n kumppani on numero 29 ja 82 = 2 34 + 14 = 70 + 12.

Mukana olevat Pell-luvut muodostavat sekvenssin:

2 , 2 , 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , ... ( OEIS - sekvenssi A002203 )

Mukana olevat Pell-luvut voidaan ilmaista kaavalla:

Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.

Kaikki nämä luvut ovat parillisia, jokainen niistä on kaksinkertainen osoittaja rationaalisten lukujen lähentämisessä . $\scriptstyle\sqrt 2$

Tietotekniikka ja viestintä

Seuraavassa taulukossa esitetään hopeisen osan ensimmäiset asteet ja niihin liittyvät . $\delta=\delta_S=1+\sqrt2$ $\bar{\delta}=1-\sqrt{2}$

$n$	$(1+\sqrt{2})^n$	$(1-\sqrt{2})^n$
0	$1+0\sqrt{2}=1,0$	$1-0\sqrt{2}=1,0$
yksi	$1+1\sqrt{2}=2,41421\lpistettä$	$1-1\sqrt{2}=-0,41421\lpistettä$
2	$3+2\sqrt{2}=5,82842\lpistettä$	$3-2\sqrt{2}=0,17157\lpistettä$
3	$7+5\sqrt{2}=14,07106\lpistettä$	$7-5\sqrt{2}=-0,07106\lpistettä$
neljä	$17+12\sqrt{2}=33,97056\lpistettä$	$17-12\sqrt{2}=0,02943\lpistettä$
5	$41+29\sqrt{2}=82.01219\lpistettä$	$41-29\sqrt{2}=-0,01219\lpistettä$
6	$99+70\sqrt{2}=197,9949\lpistettä$	$99-70\sqrt{2}=0,0050\lpistettä$
7	$239+169\sqrt{2}=478.00209\ldots$	$239-169\sqrt{2}=-0,00209\ldots$
kahdeksan	$577+408\sqrt{2}=1153,99913\ldots$	$577-408\sqrt{2}=0,00086\lpistettä$
9	$1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots$	$1393-985\sqrt{2}=-0,00035\ldots$
kymmenen	$3363+2378\sqrt{2}=6725.99985\ldots$	$3363-2378\sqrt{2}=0,00014\ldots$
yksitoista	$8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots$	$8119-5741\sqrt{2}=-0,00006\ldots$
12	$19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots$	$19601-13860\sqrt{2}=0,00002\ldots$

Kertoimet ovat puolet mukana olevista Pell-luvuista ja Pell-luvuista , jotka ovat yhtälön ei-negatiivisia ratkaisuja . $H n$ $P_{n}$ $H^2-2P^2=\pm1$

Neliön kolmioluku on luku , joka on sekä -: s kolmioluku että -: s neliöluku. Lähes tasakylkiset Pythagoraan kolmiot ovat kokonaislukuratkaisuja , joissa . $N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2$ $t$ $s$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a+1=b$

Seuraavassa taulukossa on esitetty parittomien lukujen jakautuminen kahteen lähes identtiseen puolikkaaseen, jolloin saadaan nelikulmainen kolmioluku, kun n on parillinen, ja lähes tasakylkinen Pythagoraan kolmoisluku, kun n on pariton. $H n$

$n$	$H n$	$P_n$	t	t+1	s	a	b	c
0	yksi	0	0	0	0
yksi	yksi	yksi				0	yksi	yksi
2	3	2	yksi	2	yksi
3	7	5				3	neljä	5
neljä	17	12	kahdeksan	9	6
5	41	29				kaksikymmentä	21	29
6	99	70	49	viisikymmentä	35
7	239	169				119	120	169
kahdeksan	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
kymmenen	3363	2378	1681	1682	1189
yksitoista	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Määritelmät

Mukana olevien Pell-lukujen ja Pell-lukujen puolikkaat voidaan saada useilla vastaavilla tavoilla: $H n$ $P_{n}$

Eksponentointi :

(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}

(1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.

Mistä se tulee:

H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.

P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.

Parin toistuvuussuhteet :

H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n>0\end{cases}

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n>0\end{cases}

tai matriisimuodossa :

\begin{pmatrix} H_n \\ P_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n- 1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Tällä tavalla

\begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .

Arviot

Ero ja välillä on yhtä suuri kuin , joka pyrkii nopeasti nollaan. Niin hyvin lähellä . $H n$ $P_n\sqrt2$ $(1-\sqrt2)^n \noin (-0,41421)^n$ $(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt2$ $2H_{n}$

Tästä havainnosta seuraa, että kokonaislukujen suhde lähestyy nopeasti, kun taas ja lähestyy nopeasti . $\frac{H_n}{P_n}$ ${\sqrt 2}$ ${\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}$ ${\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}$ $1+{\sqrt {2}}$

H 2 − 2 P 2 = ±1

Koska on irrationaalinen, emme voi saada , eli . Paras mitä voimme saada on joko tai . ${\sqrt 2}$ ${\frac {H}{P}}=2$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}$ $\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2}$

Ei- negatiiviset ratkaisut ovat parit , joissa on parillinen n , ja ratkaisut ovat parit , joissa on n pariton. $H^{2}-2P^{2}=1$ $H_n, P_n$ $H^{2}-2P^{2}=-1$ $H_n, P_n$

Huomioi tämän ymmärtämiseksi

H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{ n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})

joten merkillä alkava vuorottelee ( ). Huomaa nyt, että jokainen positiivinen ratkaisu voidaan saada ratkaisusta, jolla on pienempi indeksi yhtäläisyyden vuoksi . $H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1$ $yksitoista$ ${\näyttötyyli (2P-H)^{2}-2(HP)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})}$

Neliön kolmionumerot

Vaadittu yhtäläisyys on yhtä suuri kuin , josta tulee kun korvataan ja . Siksi n :s ratkaisu on ja ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1$ $H^2 = 2P^2+1$ $H = 2t+1$ $P = 2s$ $t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}$ $s_n=\frac{P_{2n}}{2}.$

Huomaa, että ja ovat suhteellisen alkulukuja, joten on mahdollista vain, kun ne ovat vierekkäisiä kokonaislukuja, että yksi on neliö ja toinen on kaksoisneliö . Koska tiedämme kaikki yhtälön ratkaisut, saamme $t$ $t+1$ ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $H^2$ $2P^2$

t_n=\begin{cases}2P_n^2&n \equiv 0\pmod 2 \\H_{n}^2&n\equiv 1 \pmod 2 \end{cases}

ja $s_{n}=H_{n}P_{n}$

$n$	$H n$	$P_n$	t	t+1	s	a	b	c
0	yksi	0
yksi	yksi	yksi	yksi	2	yksi	yksi	0	yksi
2	3	2	kahdeksan	9	6	3	neljä	5
3	7	5	49	viisikymmentä	35	21	kaksikymmentä	29
neljä	17	12	288	289	204	119	120	169
5	41	29	1681	1682	1189	697	696	985
6	99	70	9800	9801	6930	4059	4060	5741

Pythagoraan kolmoset

Tasa -arvo pätee vain , joka muuttuu korvattaessa . Sitten n :s ratkaisu on ja $c^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1$ $2c^2=4a^2+4a+2$ $2P^2=H^2+1$ $H=2a+1 \mbox{ ja } P=c$ $a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2}$ $c_{n}={P_{2n+1}}.$

Yllä oleva taulukko osoittaa, että suuruusluokkaan asti , ja ovat yhtä suuria ja , kun $a_n$ $b_n=a_n+1$ $H_nH_{n+1}$ $2P_nP_{n+1}$ $c_n=H_{n+1}P_n+P_{n+1}H_n.$

Muistiinpanot

↑ Esimerkiksi Sellers ( Sellers ) vuonna 2002 osoitti, että polkujen ja kaavion K 4 - e karteesisen tulon täydellisten vastaavuuksien lukumäärä voidaan laskea Pell-luvun tulona vastaavilla Fibonacci-luvuilla.
↑ Katso matriisikaavasta ja sen seurauksista Ercolano (1979), Kilic ja Tasci (2005). Muut Pell-numeroiden identiteetit ovat Horadam (1971) ja Bicknell (1975).
↑ Tämä on tallennettu Shulba Sutraan . Katso esimerkiksi Dutka (1986), joka lainasi Thibaut (1875)
↑ Katso Knorr (1976) viittaukseen viidennelle vuosisadalle, mikä vastaa Prokloksen väitettä, että pythagoralaiset löysivät numerot . Täydellisen tutkimuksen myöhemmästä kreikkalaisesta tiedosta näistä numeroista katso Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) ja Filep (1999).
↑ Esimerkiksi Platonin valtiossa viitataan "viiden rationaaliseen halkaisijaan", jolla Platon tarkoitti numeroa 7, likiarvon 7/5 osoittajaa.
↑ Kreikan matematiikan historia: Thalesista Eukleideen - Sir Thomas Little Heath - Google Books . Haettu: 28 tammikuuta 2013. (määrätön)
↑ Pethő (1992); Cohn (1996). Vaikka Fibonacci-luvut määritellään rekursiivisilla kaavoilla, jotka ovat hyvin samankaltaisia kuin Pellin kaavat, Cohn kirjoittaa, että samanlaisia tuloksia Fibonacci-luvuille on paljon vaikeampi todistaa (Bugeaud kuitenkin todisti ne vuonna 2006).
↑ Sesskin (1962).

Kirjallisuus

Bicknell, Marjorie. Pell-sekvenssin ja siihen liittyvien sekvenssien aluke // Fibonacci Quarterly . - 1975. - T. 13 , no. 4 . - S. 345-349 .
Cohn, JHE Perfect Pell -voimat // Glasgow Mathematical Journal . - 1996. - T. 38 , no. 1 . - S. 19-20 . - doi : 10.1017/S0017089500031207 .
Dutka, Jacques. Neliöjuurista ja niiden esityksistä // Tarkkojen tieteiden historian arkisto . - 1986. - T. 36 , no. 1 . - S. 21-39 . - doi : 10.1007/BF00357439 .
Ercolano, Joseph. Pell-sekvenssien matriisigeneraattorit // Fibonacci Quarterly . - 1979. - T. 17 , no. 1 . - S. 71-77 .
Filep, Laszlo. Pythagoraan sivu- ja diagonaaliluvut // Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis . - 1999. - T. 15 . - S. 1-7 .
Horadam, A.F. Pell-identiteetit // Fibonacci Quarterly . - 1971. - T. 9 , no. 3 . - S. 245-252, 263 .
Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. Pell-matriisin lineaarinen algebra // Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , Tercera Serie. - 2005. - T. 11 , no. 2 . - S. 163-174 .
Knorr, Wilbur. Archimedes ja ympyrän mittaus: Uusi tulkinta // Tarkkojen tieteiden historian arkisto . - 1976. - T. 15 , no. 2 . - S. 115-140 . - doi : 10.1007/BF00348496 .
Knorr, Wilbur. "Rationaaliset halkaisijat" ja yhteensopimattomuuden löytö // American Mathematical Monthly . - 1998. - T. 105 , no. 5 . - S. 421-429 . - doi : 10.2307/3109803 .
Knuth, Donald E. Leaper-kaaviot // The Mathematical Gazette . - 1994. - T. 78 , no. 483 . - S. 274-297 . - doi : 10.2307/3620202 . - arXiv : math.CO/9411240 .
Martin, Artemas . Rationaaliset suorakulmaiset kolmiot lähes tasakylkisiä // Analyytikko . - 1875. - T. 3 , no. 2 . - S. 47-50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Pethő, A. Joukot, kaaviot ja luvut (Budapest, 1991). — Colloq. Matematiikka. soc. János Bolyai, 60, Pohjois-Hollanti, 1992, s. 561-568.
Ridenhour, JR Irrationaalisten lukujen tikkaat approksimaatiot // Mathematics Magazine . - T. 59 , no. 2 . - S. 95-105 . - doi : 10.2307/2690427 . — .
Santana, S.F.; Diaz-Barrero, JL Joitakin Pell-lukuja sisältävien summien ominaisuuksia // Missouri Journal of Mathematical Sciences . - 2006. - T. 18 , no. 1 . Arkistoitu alkuperäisestä 8. toukokuuta 2007.
Sellers, James A. Domino-laatat ja Fibonacci- ja Pell-numeroiden tuotteet // Journal of Integer Sequences . - 2002. - T. 5 .
Sesskin, Sam. "Käsittely" Fermatin viimeiselle lauseelle? // Mathematics Magazine . - 1962. - T. 35 , no. 4 . - S. 215-217 . - doi : 10.2307/2688551 . — .
Thibaut, George. Súlvasútrasissa // Bengalin kuninkaallisen Aasian seuran lehti . - 1875. - T. 44 . - S. 227-275 .
Thompson, D'Arcy Wentworth. III. – Ylimäärä ja vika: tai vähän enemmän ja vähän vähemmän // Mind: Uusi sarja . - 1929. - T. 38 , no. 149 . - S. 43-55 . — .
Vedova, GC Notes on Theon of Smyrna // American Mathematical Monthly . - 1951. - T. 58 , no. 10 . - S. 675-683 . - doi : 10.2307/2307978 . — .

Linkit

Weisstein, Eric W. Pell Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .