Tau numero

Tau-luku ( -luku , eng. refactorable number ) on kokonaisluku , joka on jaollinen sen jakajien lukumäärällä tai algebrallisesti niin, että . Ensimmäiset tau-luvut [1] : $\tau$ $n$ $n$ $\tau (n)|n$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 .

Esimerkiksi luvulla 18 on kuusi kerrointa (1 ja 18, 2 ja 9, 3 ja 6) ja se on jaollinen 6:lla.

Tau-lukujen asymptoottinen tiheys on nolla. Mikään kolme peräkkäistä kokonaislukua ei voi olla tau-lukua [2] Colton osoitti, että mikään tau-luku ei ole täydellinen . Yhtälöllä (jossa on suurin yhteinen jakaja ja ) on ratkaisu vain jos on tau-luku. $(n,x)=\tau (n)$ ${\näyttötyyli (n,x)}$ $n$ $x$ $n$

Useita tau-lukuihin liittyviä ongelmia on edelleen ratkaisematta:

onko olemassa mielivaltaisen suuri , Joille ja , Ja ovat tau-numerot $n$ $n$ $n+1$
jos tau-numero on olemassa, seuraako se, että on olemassa sellainen, että on tau-numero ja . $n_{0}\equiv a{\pmod {m))$ ${\displaystyle n>n_{0))$ $n$ $n\equiv a{\pmod {m))$

Curtis Cooper ja Robert Kennedy määrittelivät Tau-luvut ensimmäisen kerran vuonna 1990 [3] , jotka havaitsivat, että tau-lukujen asymptoottinen tiheys on nolla. Simon Colton löysi ne myöhemmin uudelleen käyttämällä ohjelmaa, jonka hän kirjoitti keksiäkseen ja testatakseen erilaisia luku- ja graafiteorian määritelmiä [4] . Colton nimesi nämä numerot englanniksi. refaktoroitavissa . Vaikka tietokoneohjelmat ovat löytäneet todisteita aiemminkin, tämä oli ensimmäinen kerta, kun ohjelma löysi uuden tai aiemmin huomaamattoman idean. Colton osoitti monia tuloksia tau-luvuista osoittaen niiden lukumäärän äärettömän ja useita ehtoja niiden jakautumiselle.

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A033950 _
↑ J. Zelinsky, Tau Numbers: Osittainen todiste oletuksesta ja muista tuloksista Arkistoitu 11. marraskuuta 2020 Wayback Machinessa // Journal of Integer Sequences , Voi. 5 (2002), artikla 02.2.8
↑ Cooper, CN ja Kennedy, RE Tau -luvut, luonnollinen tiheys ja Hardyn ja Wrightin lause 437 // Internat. J Math. Matematiikka. sci. 13, 383-386, 1990
↑ S. Colton, Refactorable Numbers - A Machine Invention Arkistoitu 27. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa // Journal of Integer Sequences , Voi. 2 (1999), 99 artiklan 1 kohdan 2 alakohta