Malmi numero

Malmiluku on luonnollinen luku, jonka jakajien harmoninen keskiarvo on kokonaisluku . Oistin Ore esitteli sen vuonna 1948 . Ensimmäiset Ore-numerot:

1 , 6 , 28 , 140 , 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, … [1] .

Esimerkiksi malmiluvulla 6 on jakajat 1, 2, 3 ja 6. Niiden harmoninen keskiarvo on kokonaisluku:

{\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}} }}=2.

Numerolla 140 on jakajat 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 ja 140. Niiden harmoninen keskiarvo on:

{\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\ frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}=5.

5 on kokonaisluku, mikä tarkoittaa, että 140 on malmiluku.

Malmiluvut ja täydelliset luvut

Minkä tahansa kokonaisluvun harmonisen keskiarvon ja sen jakajien aritmeettisen keskiarvon tulo on yhtä suuri kuin itse luku , mikä seuraa suoraan määritelmistä. Siten on Ore-luku jakajien harmonisella keskiarvolla, jos jakajien aritmeettinen keskiarvo on osamäärä . $M$ $M$ $M$ $k$ $M$ $k$

Malmi osoitti, että mikä tahansa täydellinen luku on malmiluku. Koska täydellisen luvun jakajien summa on täsmälleen , jakajien keskiarvo on , missä on luvun jakajien lukumäärä . Minkä tahansa luvun kohdalla luku on pariton, jos ja vain jos se on täydellinen neliö , muuten luvun jokainen jakaja voidaan liittää toiseen jakajaan - . Mutta mikään täydellinen luku ei voi olla täydellinen neliö, tämä seuraa parillisten täydellisten lukujen tunnetuista ominaisuuksista, ja parittomilla täydellisillä luvuilla (jos niitä on) on oltava muotoa , jossa . Siten täydelliselle numerolle jakajien määrä on parillinen ja jakajien keskiarvo on tuotteen . Tämä on siis malminumero. $M$ $2 milj$ $M(2/\tau (M))$ $\tau (M)$ $M$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $d$ $M$ $m/d$ $q^{\alpha }$ $\alpha \equiv 1{\pmod 4}$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $2/\tau (M)$ $M$

Ore arveli, että ei ole olemassa muita parittomat Ore-luvut kuin 1. Jos olettamus on oikea, parittomia täydellisiä lukuja ei ole olemassa .

Reunat ja tietokonehaku

On osoitettu, että minkä tahansa parittoman malmiluvun, joka on suurempi kuin 1, alkutekijän on oltava suurempi kuin 10 7 ja että jokaisella sellaisella luvulla on oltava vähintään kolme erillistä alkutekijää. Lisäksi on todettu, ettei ole olemassa parittomia malmilukuja, jotka ovat pienempiä kuin 10 24 .

Luettelo kaikista pienistä malmiluvuista yritettiin saada tietokoneella, minkä tuloksena löydettiin kaikki Ore-luvut aina 2 × 10 9 asti ja kaikki luvut, joiden harmoninen keskiarvo ei ylitä 300:aa.

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A001599 _

Kirjallisuus

Bogomolny, Aleksanteri. Tietyn kokonaisluvun jakajien keskiarvoja koskeva identiteetti . Haettu: 10. syyskuuta 2006. (määrätön)

Cohen, Graeme L. Numerot, joiden positiivisilla jakajilla on pieni integraalinen harmoninen keskiarvo // Laskennan matematiikka . - 1997. - T. 66 . — S. 883–891 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .

Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Parittomat harmoniset luvut ylittävät 10 24 // Laskennan matematiikka. - 2010. - T. 79 , no. 272 . - S. 2451 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . Julkaistu sähköisesti 9.4.2010.

Mene, Takeshi. (Malmin) Harmoniset numerot . Haettu: 10. syyskuuta 2006. (määrätön)

Richard K Guy. Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa. – 3. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .

Joseph B. Muskat. Parittomien täydellisten lukujen jakajista // Laskennan matematiikka. - American Mathematical Society, 1966. - V. 20 , no. 93 . — S. 141–144 . - doi : 10.2307/2004277 . — .

Øysteinin malmi. Lukujen jakajien keskiarvoista // American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America, 1948. - V. 55 . — S. 615–619 . - doi : 10.2307/2305616 . — .

Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Numerot jakautuvuusominaisuuksien mukaan
Yleistä tietoa	Kokonaislukujen faktorointi Jaettavuus yhtenäinen jakaja Jakajatoiminto alkuluku Aritmetiikan peruslause Aritmeettinen luku
Faktorisointilomakkeet	alkuluku Yhdistelmänumero Semiprime suorakaiteen muotoinen numero Sphenic numero Neliötön luku Täysi moninkertainen Täydellinen tutkinto Akilleuksen numero sileä numero Tavallinen numero karkea luku epätavallinen määrä
Rajoitettujen jakajien kanssa	täydellinen numero Hieman riittämättömät määrät Hieman tarpeettomia numeroita Monitoiminen luku Hemitäydelliset luvut hypertäydellinen luku super täydellinen numero yhtenäinen alkuluku puolitäydellinen luku pararytminen numero Erdős-Nicolas numero
Lukuja, joissa on monia jakajia	Ylimääräiset numerot Primitiiviset ylimääräiset numerot Erittäin tarpeettomia numeroita Super Redundant Numbers Todella tarpeettomia lukuja superkomposiittiluku Erittäin superkomposiittiluku outo numero
Liittyy alikvoottisekvensseihin _	pyhä numero ystävällisiä numeroita julkisia numeroita Melko ystävällisiä numeroita
Muut	Ei tarpeeksi numeroita kaverin numerot sublimoituja numeroita Malmi numerot nöyrä numero Samat numerot ekstravagantti numero