Vaihtoehtoinen algebra
Vaihtoehtoinen algebra on kentän yläpuolella oleva algebra , jossa kertolasku on vaihtoehto [1] . Jokainen assosiatiivinen algebra on luonnollisesti vaihtoehto, mutta on myös ei-assosiatiivisia vaihtoehtoisia algebroita, joista oktaavit ovat esimerkki . Oktaavien yleistyksellä, sedenionilla , ei ole enää vaihtoehtoisuuden ominaisuutta.
Yhteys Maltsev-algebraan
Vaihtoehtoiselle algebralle ja Maltsev-algebralle on olemassa Poincarén-Birkhoff-Wittin lauseen analogi . Vaihtoehtoisten algebroiden ja Maltsev-algebroiden välillä on seuraava suhde: korvataan kertolasku g(A,B) vaihtoehtoisessa algebrassa M kommutaattorioperaatiolla [A,B]=g(A,B)-g(B,A), muuttaa sen Maltsev-algebraksi .
Associate
Yhteistyökumppanin käyttäminen
![[x,y,z] = (xy)z - x(yz)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
vaihtoehtoisen algebran määrittävät identiteetit ovat muotoa [2]
![[x,x,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1374960ee08cdee5d041c68cab56a4997b5ea)
![[y,x,x] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856eb0c9a06c9acba9f595cbf7d89a494e753918)
kaikille elementeille ja Tästä on helppo saada se assosiaattorin monilineaarisuuden vuoksi
![[x,y,z] + [y,x,z] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46c4174c40b512f80e585cd9a5b199e49ff9954)
![[x,y,z] + [x,z,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfd67742634b472c30237b7d7c159eb5cbdf8d8)
Siten vaihtoehtoisessa algebrassa assosiaattori on vaihtoehtoinen operaatio:
![[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099d89046d5801047a1a8186681d752286a2087)
missä - elementtien permutaatio - tämän permutaation pariteetti. Päinvastoin on myös totta: jos assosiaattori on vaihtoehtoinen, niin rengas on vaihtoehtoinen. Vaihtoehtoiset renkaat saivat tällaisen nimen johtuen yhteydestä assosiaattorin vaihtoehtoisuuteen.
Samoin voidaan osoittaa, että ollakseen vaihtoehtoinen liittolainen, riittää, että mikä tahansa kaksi seuraavista identiteeteistä on voimassa:
josta kolmas identiteetistä seuraa välittömästi.
Muistiinpanot
- ↑ "Matemaattinen tietosanakirja" / Päätoimittaja I. M. Vinogradov. - M . : "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1979. - T. 2. - 1104 s. - (51 [03] M34). - 148 800 kappaletta.
- ↑ Zhevalkov K.A., Slinko A.M., Shestakov I.P., Shirshov A.I., "Sormukset lähellä assosiaatiota" M.: Nauka, 1978. Luku 2, kohta 3. s. 49-55.
Kirjallisuus
- Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . III luku. Renkaat ja moduulit // Yleinen algebra / Ed. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 30 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014426-6 .
- Schafer, Richard D. Johdatus ei-assosiatiivisiin algebroihin (englanniksi) . - New York: Dover Publications , 1995. - ISBN 0-486-68813-5 .