Artin sormus

Artinin rengas (nimellä E. Artin ) on assosiatiivinen rengas A , jossa on yksikköelementti, jossa seuraava ehto laskevien ketjujen katkaisemiselle täyttyy : mikä tahansa ihanteiden sarja stabiloituu, eli alkaa jostain $p_{1}\supset p_{2}\supset \dots \supset p_{n}\supset \dots$ $n$

p_{n}=p_{n+1}=\ldots

On helppo todistaa, että tämä väite vastaa sitä tosiasiaa, että missä tahansa ei-tyhjässä ideaalissa A on minimaalinen elementti. Ei-kommutatiivisen renkaan A tapauksessa tehdään ero vasemmanpuoleisten ja oikeanpuoleisten artinilaisten renkaiden välillä: edellinen täyttää laskevan ketjun ehdon vasemmille ihanteille ja jälkimmäinen oikealle. Yleisesti ottaen vasen artinilainen rengas ei välttämättä ole oikea artinilainen rengas.

Artin-Wedderburn-lauseen mukaan kaikki yksinkertaiset artinilaiset renkaat ovat jakorenkaan päällä olevia matriisirenkaita . Erityisesti yksinkertainen rengas on vasen artinialainen, jos ja vain, jos se on oikea artinialainen.

Jos määritelmässä korvataan pienenevät ketjut kasvavilla, niin saadaan Noether-renkaan määritelmä . Huolimatta siitä, että laskevien ketjujen päättämisen ehto on kaksoisehto kasvavien ketjujen päättämisen kanssa, itse asiassa ensimmäinen ehto on vahvempi. Hopkins-Levitsky-lauseen mukaan mikä tahansa vasen (vastaavasti oikea) Artinian rengas on vasen (vastaavasti oikea) Noetherian.

Esimerkkejä

Artinian eheysalue on kenttä .
Rengas, jossa on äärellinen määrä ihanteita (erityisesti äärellinen rengas ), on artinilainen.
Jos I on nollasta poikkeava ideaali Dedekind-renkaassa , niin osamäärä I :n suhteen on Artinian pääideaalirengas [ 1] .
Jokaiselle täydelliselle matriisirenkaalle, joka ylittää vasemman artinilaisen (vastaa vasen noeterilainen) rengas R on vasen artinilainen (vastaa vasen noeterilainen) [2] . $n\geq 1$ $M_{n}(R)$

Kommutatiiviset artinilaiset renkaat

Olkoon A kommutatiivinen Noetherian rengas, jolla on identiteetti. Sitten seuraavat ehdot ovat vastaavat:

A on artinilainen;
A on Artinian paikallisten renkaiden rajallinen tuote ;
A :n mitta on nolla;
A :n spektri on diskreetti [3] .

Muistiinpanot

↑ Lause 459 osoitteessa http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Arkistoitu 14. joulukuuta 2010 Wayback Machinessa
↑ Cohn, 2003 , 5.2 Harjoitus 11
↑ Atiyah-McDonald, luku 8, harjoitus 2.

Kirjallisuus

Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M .: Mir, 1972
Zarissky O., Samuel R. Kommutatiivinen algebra. - M .: IL, 1963
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1968
Cohn, Paul Moritz. Perusalgebra: ryhmät, renkaat ja kentät (englanniksi) . - Springer, 2003. - ISBN 978-1-85233-587-8 .